2020-2021学年第二章 统计2.3 变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关当堂检测题

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2．3.1 变量间的相关关系
2．3.2 两个变量的线性相关
[A组 学业达标]
1．线性回归直线是指( )
A．样本少数点在其上的直线
B．样本所有点在其上的直线
C．样本大部分点在其上的直线
D．样本所有点到其距离的平方和最小的直线
解析：由回归直线的求法可知回归直线是样本所有点到其距离的平方和最小的直线．
答案：D
2．设一个回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加1.2个单位
B．y平均增加3个单位
C．y平均减少1.2个单位
D．y平均减少3个单位
解析：由b＝1.2>0，故选A.
答案：A
3．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.eq \(y,\s\up6(^))＝－10x＋200 B.eq \(y,\s\up6(^))＝10x＋200
C.eq \(y,\s\up6(^))＝－10x－200 D.eq \(y,\s\up6(^))＝10x－200
解析：∵商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，∴b＜0，排除B，D.又∵x＝0时，y＞0，∴选A.
答案：A
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：当x＝170时，eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg.
答案：D
5．若施肥量x(kg)与水稻产量y(kg)的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝5x＋250，当施肥量为80 kg时，预计水稻产量约为__________ kg.
解析：把x＝80 kg代入回归方程可得其预测值，
eq \(y,\s\up6(^))＝5×80＋250＝650(kg)．
答案：650
6．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示.
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，这条回归直线的方程为__________．
解析：由题意可知eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50.
即样本中心为(5，50)．
设回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋eq \(a,\s\up6(^))，
∵回归直线过样本中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，
∴50＝6.5×5＋eq \(a,\s\up6(^))，
即eq \(a,\s\up6(^))＝17.5，
∴回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.
答案：eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5
7．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________ cm.
解析：由题意，父亲身高x cm与儿子身高y cm对应关系如下表：
则eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(173＋170＋176,3)＝173，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(170＋176＋182,3)＝176，
eq \(∑,\s\up6(3),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)(182－176)＝18，
eq \(∑,\s\up6(3),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18.
∴eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(18,18)＝1.
∴eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))＝176－173＝3.
∴线性回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))＝x＋3.
∴可估计该老师的孙子身高为182＋3＝185(cm)．
答案：185
8．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
(1)画出散点图；
(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．(结果保留两位小数)
解析：(1)散点图如图所示．
(2)设y与产量x的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(7＋8＋9＋12,4)＝9，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(（x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4）－4\(x,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,3)＋xeq \\al(2,4)－4\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(11,10)＝1.10，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))＝9－1.10×4＝4.60.
∴回归方程为：eq \(y,\s\up6(^))＝1.10x＋4.60.
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
(1)求回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝－20，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解析：(1)由于eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－))＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(33,4)))eq \s\up12(2)＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
[B组 能力提升]
10．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是( )
A．直线l1和l2有交点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)
C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和l2必定重合
解析：由题意，结合回归直线易知只有选项A符合已知条件．
答案：A
11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.
现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为__________．
解析：由已知可计算求出eq \(x,\s\up6(－))＝30，而回归直线方程必过点(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，则eq \(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则eq \f(a＋62＋75＋81＋89,5)＝75，计算得a＝68.
答案：68
12．近年来，我国高等教育事业有了迅速发展，为了解某省从2000年到2014年18岁到24岁的青年人每年考入大学的人数，我们把农村、县镇和城市分别标记为一组、二组、三组分开统计．为了便于计算，把2000年编号为1，2001年编号为2，…，2014年编号为15，如果把年份从1到15作为自变量进行回归分析，可得三个回归方程：农村：eq \(y,\s\up6(^))＝0.42x＋1.80；县镇：eq \(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.72；城市：eq \(y,\s\up6(^))＝2.84x＋9.50(eq \(y,\s\up6(^))的单位是万)．则下列说法中正确的是________．(把你认为正确说法的序号填上)
①三个组的两个变量都是正相关关系；②对于县镇组而言，每年考入大学的人数约是上一年的2.32倍；③在这一阶段，城市组的大学入学人数增长最快；④0.42表示农村青年考入大学的人数以每年约4 200人递增．
解析：①由于三个组的线性回归方程中x的系数均为正数，故三个组的两个变量都是正相关关系，故①正确；②中县镇组的线性回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.72的意义是县镇考入大学的人数每年大约比上一年增加23 200人，故②不正确，由此可推知④正确；由于三个组的线性回归方程中，城市组所对应的方程的x的系数最大，表示城市组入学人数增加得最快，故③正确．
答案：①③④
13．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数为5～32人，船员人数y关于吨位x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝9.5＋0.006 2x，
(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差人数；
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
解析：(1)设两艘船的吨位分别为x1，x2则
eq \(y,\s\up6(^))1－eq \(y,\s\up6(^))2＝9.5＋0.006 2x1－(9.5＋0.006 2x2)
＝0.006 2×1 000≈6，
即船员平均相差6人．
(2)当x＝192时，eq \(y,\s\up6(^))＝9.5＋0.006 2×192≈11，
当x＝3 246时，eq \(y,\s\up6(^))＝9.5＋0.006 2×3 246≈30.
即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30和11.
14．在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的一组数据：
(1)画出散点图；
(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程．
解析：(1)散点图如图：
(2)经计算可得：
eq \(t,\s\up6(－))≈46.36，eq \(y,\s\up6(－))≈19.45，eq \(∑,\s\up6(11),\s\d4(i＝1))teq \\al(2,i)＝36 750，eq \(∑,\s\up6(11),\s\d4(i＝1))tiyi＝13 910.
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(11),\s\d4(i＝1))tiyi－11×\(t,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),\(∑,\s\up6(11),\s\d4(i＝1))teq \\al(2,i)－11×\(t,\s\up6(－))2)
＝eq \f(13 910－11×46.36×19.45,36 750－11×46.362)≈0.3.
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(t,\s\up6(－))＝19.45－0.3×46.36＝5.542.
故所求的回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.3t＋5.542.x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
x
173
170
176
y
170
176
182
产量x(千件)
2
3
5
6
成本y(万元)
7
8
9
12
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
时间t(s)
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
深度y(mm)
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46