人教版 (新课标)选修35 外力作用下的振动教学设计

课时11.5　外力作用下的振动

　　1.知道阻尼振动和无阻尼振动,并能从能量的观点给予说明。

2.知道受迫振动的概念。知道受迫振动的频率等于驱动力的频率,而跟振动物体的固有频率无关。

3.理解共振的概念,知道常见的共振的应用和危害。

重点难点:对共振及共振曲线的理解,共振的产生条件。

教学建议:本节首先介绍了固有频率的概念,然后从图象和能量的角度分析了阻尼振动,并介绍了受迫振动,最后通过竖直弹簧振子的共振和单摆的共振两类典型的共振实验,全面认识共振现象,理解共振曲线。教学中要注意阻尼振动、受迫振动、共振三个概念的区别与联系。

导入新课:唐朝开元年间,洛阳有一个姓刘的和尚,他的房间内挂着一幅磬,常敲磬解烦。有一天,刘和尚没有敲磬,磬却自动响起来了。这使他大为惊奇,终于惊忧成疾。他的一位好朋友曹绍夔是宫廷的乐令,闻讯前来探望刘和尚,他拿出刀来把磬磨去几处,从此以后磬就不再自鸣了。

1.固有频率

如果振动系统不受①外力的作用,此时的振动叫作固有振动,其振动频率称为固有频率。

2.阻尼振动

(1)振动系统中最常见的外力是摩擦力或其他阻力。当系统受到阻力的作用时,我们说振动受到了②阻尼。系统克服阻尼的作用要做功,消耗机械能,因而振幅减小,最后停下来。这种振幅逐渐③减小的振动,叫作阻尼振动。

(2)振动系统受到的阻尼越大,振幅减小得④越快。阻尼过大时,系统不能发生振动。

3.受迫振动

(1)驱动力

作用在振动系统上的⑤周期性外力叫驱动力。

(2)受迫振动

振动系统在⑥驱动力作用下的振动叫受迫振动。受迫振动稳定时,系统振动的频率等于⑦驱动力的频率,与系统的⑧固有频率无关。

4.共振

(1)共振的条件是⑨驱动力频率等于系统的固有频率。

(2)共振是一种特殊的⑩受迫振动,产生共振时,物体的振幅最大(填“最大”或“最小”)。

1.振动系统常见的外力是什么?

解答: 是摩擦力或其他阻力。

2.阻尼振动的图象有什么特点?

解答: 振幅越来越小。

3.驱动力的频率满足什么条件时振子的振幅最大?

解答: 驱动力的频率等于系统的固有频率。

主题1:阻尼振动

问题:(1)观察实际单摆的振动,你会发现什么现象?原因是什么?

(2)如果把同样的单摆放入水中,你会发现什么现象?原因是什么?

(3)比较上述两种现象,你能得出什么结论?

解答:(1)单摆的振幅越来越小,逐渐停止振动;单摆振动过程中要克服各种阻力做功,能量不断损失。

(2)单摆振幅减小得更快,很快就停止振动;单摆在水中所受阻力更大,能量损失更快。

(3)振动系统受到的阻尼越小,振幅减小越慢;振动系统受到的阻尼越大,振幅减小越快。

知识链接:实际物体的振动都会受到各种阻尼作用,导致物体振动的振幅不断减小,故阻尼振动又叫作减幅振动。

主题2:受迫振动

情景:如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子,匀速摇动手柄,下面的弹簧振子就会振动起来。实际动手做一下,然后回答以下几个问题。

问题:(1)如果手柄不动而用手拉动一下振子,从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动?从有无周期性外力作用角度看弹簧振子的振动属于什么振动?

(2)手柄匀速摇动的意义是什么?

(3)用不同的转速匀速转动把手,弹簧振子的振动有何不同?这能说明什么问题?

　　解答:(1)阻尼振动;自由振动。

(2)提供一个周期性的外力;补偿系统振动过程中损耗的能量。

(3)用不同的转速匀速转动把手时,振子的振动快慢并不一样,但振子振动的步调跟把手转动的步调一致。这说明振子振动的周期和频率由把手转动的周期和频率决定。

知识链接:振动按能量是否损耗分为阻尼振动(减幅振动)和无阻尼振动(等幅振动);按振动的成因分为自由振动和受迫振动。

　　主题3:共振

情景:完成课本“实验”,回答以下问题。

问题:(1)实验中为什么A摆的质量要比其他三个摆的质量明显大?

(2)先让A摆摆动后,观察在摆动稳定后会出现什么现象?

(3)实验中B、C、D三个摆的振动有什么共同特点?发生共振的是哪个摆?

解答:(1)A摆的振动相当于给其他三个摆提供驱动力,但其他三个摆振动后也会反过来影响A摆,A摆的质量大可以强化A摆的主导地位。

(2)A摆摆动起来后,B、C、D也随之摆动,但是它们摆动的振幅不同,B摆动的振幅最大,而C、D摆动的振幅较小。

(3)实验中B、C、D三个摆都做受迫振动,它们振动的周期相同,但发生共振的只有B摆。

知识链接:当f驱与f固相同时,驱动力的每次作用都使振动加速,直至驱动力作用与阻力作用恰好抵消时,达到最大振幅。

1.(考查阻尼振动)单摆在空气中做阻尼振动,下列说法中正确的是(　　)。

A.振动的能量逐渐转化为其他形式的能量

B.后一时刻摆球的动能一定比前一时刻小

C.后一时刻摆球的势能一定比前一时刻小

D.后一时刻摆球的机械能一定比前一时刻小

【解析】由于单摆在空气中做阻尼振动,克服空气、摩擦阻力做功,使机械能不断减少而转化为内能。后一时刻的动能和势能不一定比前一时刻小,但后一时刻摆球的机械能一定比前一时刻小。

【答案】AD

【点评】在阻尼振动过程中,系统的机械能逐渐减少,减少的机械能转化为内能。

2.(考查自由振动与受迫振动)下列说法正确的是(　　)。

A.实际的自由振动必然是阻尼振动

B.在外力作用下的振动是受迫振动

C.阻尼振动的振幅越来越小

D.受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关

【解析】实际的自由振动,必须不断克服外界阻力做功而消耗能量,振幅会逐渐减小,所以必然是阻尼振动,故A、C正确;只有在周期性外力(驱动力)作用下的物体所做的振动才是受迫振动,B错误;受迫振动稳定后的频率由驱动力的频率决定,与自身物理条件无关,D正确。

【答案】ACD

【点评】实际的自由振动都是阻尼振动;简谐振动是理想化模型,在实际中是不存在的。

3.(考查共振的条件)在一根张紧的水平绳上悬挂五个摆,其中A、E的摆长为l,B的摆长为0.5l,C的摆长为1.5l,D的摆长为2l。先使A振动起来,其他各摆随后也振动起来,则在B、C、D、E四个摆中,振幅最大的是(　　)。

A.B　　　　B.C　　　　C.D　　　　D.E

【解析】A振动起来以后,B、C、D、E四个摆均做受迫振动,其中E的摆长与A的摆长相等,即固有周期相等,故E摆满足共振的条件,其振幅最大。选项D正确。

【答案】D

【点评】 A提供周期性的驱动力,固有频率相同的摆振幅最大。

4.(考查受迫振动和共振的关系)一洗衣机脱水桶在正常工作时非常平稳,当切断电源后,发现洗衣机先是振动越来越剧烈,然后振动再逐渐减弱,对这一现象,下列说法正确的是(　　)。

A.正常工作时,洗衣机脱水桶的运转频率比洗衣机的固有频率大

B.正常工作时,洗衣机脱水桶的运转频率比洗衣机的固有频率小

C.正常工作时,洗衣机脱水桶的运转频率等于洗衣机的固有频率

D.当洗衣机振动最剧烈时,脱水桶的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率

【解析】切断电源后脱水桶的转速越来越小,即脱水桶的运转频率越来越小,由题意,当洗衣机脱水桶正常工作时,非常稳定,可知,正常工作时的频率大于洗衣机的固有频率,故A选项正确。当振动最剧烈时,洗衣机发生了共振,即D选项正确。

【答案】AD

【点评】受迫振动最剧烈时是发生了共振现象。

拓展一:共振的条件

1.在火车的车厢里用细线吊着一个小球,由于在铁轨接合处火车会受到震动,从而使球摆动。如果每根铁轨长12.5 m,细线长0.4 m,则当火车速度达多大时球摆动的振幅最大?

【分析】本题考查共振的条件。从题意可知,小球做受迫振动,而驱动力是由于火车经过铁轨接合处产生的。

【解析】火车每次通过铁轨接合处,都给摆球施加一次周期性的驱动力,当这一驱动力的周期T驱=跟摆球的固有周期T固=2π相等时,摆球的振幅达到最大,即:

=2π

解得:v=×=× m/s≈10 m/s。

【答案】10 m/s

【点拨】火车运行时,车轮每次通过相邻的两根铁轨的连接处,都会受到一次撞击,这相当于给小球一个驱动力。通过审题,挖掘出火车车轮与两根铁轨接合处撞击的频率与单摆的固有频率相等是解答本题的关键。

　　拓展二:对共振规律的理解

2.一物体做受迫振动,驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时,该物体的振幅将(　　)。

A.逐渐增大

B.先逐渐减小后逐渐增大

C.逐渐减小

D.先逐渐增大后逐渐减小

【分析】如果驱动力的频率逐渐增大且连续变化,则当驱动力的频率小于物体的固有频率时,振幅逐渐增大;当驱动力的频率等于物体的固有频率时,振幅最大;当驱动力的频率大于物体的固有频率时,振幅逐渐减小。

【解析】此题可以由受迫振动的共振曲线图来判断,如图甲所示。受迫振动中物体振幅的大小和驱动力频率与系统固有频率之差有关。驱动力的频率越接近系统的固有频率,即驱动力频率与固有频率的差值越小,做受迫振动的振子的振幅就越大。当外加驱动力频率等于系统固有频率时,振动物体发生共振,振幅最大。由共振曲线可以看出,当驱动力的频率小于该物体的固有频率时,增大驱动力频率,振幅增大,直到驱动力频率等于系统固有频率时,振动物体发生共振,振幅最大,在此之后,若再增大驱动力频率,则振动物体的振幅减小。

甲

【答案】D

【点拨】如图乙所示。

(1)共振曲线反映了受迫振动的振幅A随驱动力的频率f变化的关系,这个图象中纵轴表示受迫振动的振幅,横轴表示驱动力的频率。

乙

　　(2)共振曲线的特点:①当驱动力频率等于物体固有频率时,物体振动的振幅最大;②当固有频率不等于驱动力频率时,二者越接近,振幅越大,反之,相差越大,振幅越小;③共振曲线上除峰值外,其他某一振幅都对应两个驱动力频率。

一、物理百科

古人对共振现象的认识

在古代典籍中有大量的关于共振现象的记述,并把这种现象解释为“同声相应”或“声比则应”,这个解释和现代的科学定义几乎完全相同。

我国人民早在公元前4世纪到公元前3世纪,就已经进行共振原理的研究。我国《庄子·杂篇·徐无鬼》中说:“为之调瑟,废于一堂,废于一室。鼓宫宫动,鼓角角动。音律同矣。夫改调一弦,于五音无当也,鼓之,二十五弦皆动。”这说的是西周时代一个叫鲁遽的人做的共振实验。他把两把瑟分别放在两个房间,将其中一瑟某弦弹一下,隔壁那具瑟上同样的弦也会发声,音律相同,他又改变实验方法,将瑟乱弹一气,结果出来很多泛音 ,另一具瑟上的每根弦都或多或少地应声而动。这就是世界上最早的共振实验。

这里描述的瑟有二十五根弦。宫、商、角、徵(zhǐ)、羽是古代人使用的乐音音名,相当于现在的do、re、mi、sol、la。当在高堂明室中放上一具瑟,进行调音时,人们发现:弹动某一弦的宫音,别的宫音弦也动;弹动某一弦的角音,别的角音弦也动。这是因为它们的音律相同的缘故。如果改调一弦,使它发出的音和五音中的任何一声都不相当,再弹这根弦时,瑟上二十五根弦都会动。我们知道,这条弦虽然弹不出一个准确的乐音,但它的许多泛音中总有那么几个音和瑟的二十五根弦的音相当或成简单的比。这就是它会和瑟的二十五根弦都共振的道理。

《庄子》的这段文字肯定是调瑟实验的忠实记录。它不仅指出基音的共振现象,而且发现了基音和泛音的共振现象。后一个发现在声学史上是了不起的成就。

二、备用试题

1.A、B两个弹簧振子,A的固有频率为f,B的固有频率为4f,若它们均在频率为3f的驱动力作用下做受迫振动,则(　　)。

A.振子A的振动幅度较大,振动频率为f

B.振子B的振动幅度较大,振动频率为3f

C.振子A的振动幅度较大,振动频率为3f

D.振子B的振动幅度较大,振动频率为4f

【解析】做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,物体的固有频率和驱动力的频率越接近的物体的振动幅度越大,故B选项正确。

【答案】B

2.有一根绷紧的水平绳上挂有5个双线摆,其中b摆摆球质量最大,另4个摆球质量相等,摆长关系为Lc>Lb=Ld>La>Le,如图所示。现将b摆垂直纸面向里拉开一微小角度,放手后让其振动,经过一段时间,其余各摆均振动起来,则达到稳定时(　　)。

A.周期关系为Tc>Td>Ta>Te

B.频率关系为fc=fd=fa=fe

C.摆幅关系为Ac=Ad=Aa=Ae

D.四个摆中,d的振幅最大,且Ae<Aa

【解析】b摆的振动作为一种驱动力,迫使其他四个摆做受迫振动,受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率),而和自身的固有周期(固有频率)无关,B正确。四个摆做受迫振动的振幅与驱动力的频率跟自身的固有频率之差有关,相差越小,物体做受迫振动的振幅越大。在a、c、d、e四个摆中,d的摆长跟b的摆长相等,因此d的固有频率和驱动力的频率相等,d摆做受迫振动的振幅最大。同理,e摆做受迫振动的振幅比a摆小,D正确。

【答案】BD

3.图示为一个弹簧振子做受迫振动时振幅与驱动力频率之间的关系图象,由图可知(　　)。

A.振子振动频率为f2时,它处于共振状态

B.驱动力频率为f3时,振子振动频率为f3

C.若撤去驱动力让振子做自由振动,频率是f3

　　D.振子做自由振动的频率可以为f1、f2、f3

【解析】由题意可知,当驱动力的频率变化时,做受迫振动物体的振幅在变化,当驱动力频率为f2时,受迫振动的振幅最大,即发生共振现象,故A选项正确;做受迫振动的频率等于驱动力的频率,B选项正确;若撤去外力,物体自由振动的频率为固有频率,即应为f2,故C、D选项错误。

【答案】AB

4.在接近收费口的道路上安装了若干条突起于路面且与行驶方向垂直的减速带。减速带间距为10 m,当车辆经过减速带时会产生振动。若某汽车的固有频率为1.25 Hz,则当该车以　　　　　m/s的速度行驶在此减速区时颠簸得最厉害,我们把这种现象称为　　　　　。 

【解析】车辆经过减速带时颠簸得最厉害,即车辆发生共振现象,此时驱动力的频率应为f=1.25 Hz,则由f=得v=fx=12.5 m/s。

【答案】12.5　共振

1.自由摆动的秋千,摆动的振幅越来越小,下列说法正确的是(　　)。

A.机械能守恒

B.能量正在消失

C.总能量守恒,机械能减小

D.只有动能和势能的相互转化

【解析】可以把自由摆动的秋千看作做阻尼振动的模型。振动系统中的能量转化不只是系统内部动能和势能的相互转化,振动系统是一个开放系统,与外界时刻进行着能量交换。系统由于受到阻力,消耗系统能量,从而使振动的能量不断减小,但总能量守恒。

【答案】C

2.如图所示,把两个弹簧振子悬挂在同一支架上,已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz,乙弹簧振子的固有频率为72 Hz,当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用下做受迫振动时,两个弹簧振子的振动情况是(　　)。

A.甲的振幅较大,且振动频率为18 Hz

B.甲的振幅较大,且振动频率为9 Hz

C.乙的振幅较大,且振动频率为9 Hz

D.乙的振幅较大,且振动频率为72 Hz

【解析】根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大,因为甲的固有频率等于驱动力的频率,做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,所以B选项正确。

【答案】B

3.研究单摆受迫振动规律时得到如图所示的共振曲线,下列说法正确的是(　　)。

A.其纵坐标为位移

B.其横坐标为固有频率

C.单摆的固有周期为2 s

D.图象的峰值表示单摆共振时的振幅

【解析】共振曲线的纵坐标表示简谐运动的振幅,横坐标表示驱动力的频率,峰值表示驱动力频率等于固有频率时,发生共振的振幅。根据图象可知固有频率为0.5 Hz,故单摆的固有周期为2 s。

【答案】CD

4.用两根完全一样的弹簧和一根细线将甲、乙两滑块连在光滑的水平面上,线上有张力,甲的质量大于乙的质量,如图所示。当线突然断开后,两滑块都开始做简谐运动,在运动过程中(　　)。

A.甲的振幅一定等于乙的振幅

B.甲的振幅一定小于乙的振幅

C.甲的最大速度一定大于乙的最大速度

D.甲的最大速度一定小于乙的最大速度

【解析】两根弹簧完全相同,线未剪断时两弹簧所受拉力大小相等,伸长量相同,所以剪断线以后,甲、乙振幅相同,A项对,B项错。又由于线未剪断时弹簧的弹性势能相同,所以甲、乙通过平衡位置时的动能相同,质量大的速度小,C项错,D项对。

【答案】AD

5.一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子,图甲所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时,曲杆给弹簧振子以驱动力,使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期,改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动,给砝码一向下的初速度,砝码便做简谐运动,振动图线如图乙所示。当把手以某一速度匀速转动,受迫振动达到稳定时,砝码的振动图象如图丙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期,T表示驱动力的周期,Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅,则(　　)。

A.由图线可知T0=4 s

B.由图线可知T0=8 s

C.当T在4 s附近时,Y显著增大,当T比4 s小得多或大得多时,Y很小

D.当T在8 s附近时,Y显著增大,当T比8 s小得多或大得多时,Y很小

【解析】由题中图乙可知弹簧振子的固有周期T0=4 s,故选项A正确,选项B错误。根据受迫振动的特点,当驱动力的周期与系统的固有周期相同时发生共振,振幅最大;当驱动力的周期与系统的固有周期相差越多时,受迫振动物体振动稳定后的振幅越小,故选项C正确,选项D错误。

【答案】AC

6.图示是用来测量各种发动机转速的仪器的原理图:在一铁支架MN上焊有固有频率依次为80 Hz、60 Hz、40 Hz、20 Hz的四个钢片a、b、c、d,将M端与正在转动的电动机接触,发现b钢片振幅最大,则发动机的转速为　　　　。 

【解析】由于四个钢片在发动机周期性驱动力作用下做受迫振动,当钢片的固有频率等于驱动力的频率时,发生共振,振幅最大。由题意可知,b振幅最大,则b处发生共振,此时发动机提供的驱动力频率等于b的固有频率60 Hz,则发动机的转速为60 r/s。

【答案】60 r/s

7.图示是一个做阻尼振动的物体的振动图象,A、B两点所在直线与横轴平行。下列说法正确的是(　　)。

A.物体A时刻的动能等于B时刻的动能

B.物体A时刻的势能等于B时刻的势能

C.物体A时刻的机械能等于B时刻的机械能

D.物体A时刻的机械能大于B时刻的机械能

【解析】由于振动物体的势能仅由它的位移决定,由题意可知A、B时刻所表示物体的位移相等,所以两时刻的势能相等。因为物体做的是阻尼振动,机械能越来越小,故A时刻的动能大于B时刻动能。

【答案】BD

8.铺设铁轨时,每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙,匀速运行的列车经过轨端接缝处时,车轮就会受到一次冲击。由于每根钢轨长度相等,所以这个冲击力是周期性的,列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长为12.6 m,列车固有振动周期为0.315 s。下列说法不正确的是(　　)。

A.列车的危险速率为40 m/s

B.列车过桥需要减速,是为了防止列车发生共振现象

C.列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的

D.增加钢轨的长度有利于列车高速运行

【解析】对于受迫振动,当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象,所以列车的危险速率v==40 m/s,A正确。列车过桥时减速是为了防止共振现象发生,B正确。由v=知L增大时,T不变,v变大,D正确。

【答案】C

9.如图所示,曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇把,曲轴可以带动弹簧振子上下振动,开始时不转动摇把,而让振子自由上下振动,测得其频率为2 Hz,然后匀速转动摇把,转速为240 r/min,当振动稳定时,它们振动的周期为(　　)。

A.0.5 s　　　B.0.25 s　　　C.2 s　　　D.4 s

【解析】匀速转动摇把后,振子将做受迫振动,驱动力的周期跟把手转动的周期是相同的,振子做受迫振动的周期又等于驱动力的周期,其频率也等于驱动力的频率,与振子自由上下振动频率无关。

摇把匀速转动转速为240 r/min=4 r/s,角速度ω=8π rad/s,所以驱动力的周期T== s=0.25 s。

【答案】B

10.把一个筛子用四根弹簧支起来,在筛子上安装一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这样就做成了一个共振筛。筛子做自由振动时,完成10次全振动用时15 s。在某电压下,电动偏心轮的转速是36 r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高;增大筛子的质量,可以增大筛子的固有周期。那么要使筛子的振幅增大,下列做法正确的是(　　)。

A.提高输入电压 B.降低输入电压

C.增大筛子质量 D.减小筛子质量

【解析】在题设条件下,筛子振动的固有周期T固= s=1.5 s,电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱= s=1.67 s。要使筛子振幅增大,也就是使这两个周期值靠近,可采用两种做法:第一,提高输入电压,使偏心轮转得快一些,减小驱动力的周期;第二,增大筛子的质量,使筛子的固有周期增大。

【答案】AC

11.汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上,弹簧的等效劲度系数k=1.5×105 N/m。汽车开始运动时,在振幅较小的情况下,其上下自由振动的频率满足f=(l为弹簧的压缩长度)。若人体可以看成一个弹性体,其固有频率约为2 Hz,已知汽车的质量为600 kg,每个人的质量为70 kg,则这辆车乘坐几个人时,人感到最难受?

　　【解析】当汽车的振动频率与人体的固有频率f固=2 Hz相等时,人体与之发生共振,人感觉最难受。即f==f固,则l=,代入数据得l=0.0621 m,由胡克定律得kl=(m1+nm2)g

解得:n===5(个)。

【答案】5个

12.图示是一个单摆的共振曲线。

(1)若单摆所处环境的重力加速度g=9.8 m/s2,试求此摆的摆长。

(2)发生共振时单摆的振幅为多少?

(3)若将此摆移到很高的高山上,共振曲线的峰将怎样移动?

【解析】(1)由图知单摆的固有频率为f=0.3 Hz,则T== s

根据周期公式T=2π,解得摆长l≈2.76 m。

(2)由图知单摆共振时振幅为10 cm。

(3)当将单摆移到高山上时g变小,由周期公式知T变大,f变小,因此峰将向左移动。

【答案】(1)2.76 m　(2)10 cm　(3)左移