2020届山西省大同市高三上学期第一次联合考试数学（文）试题（解析版）

2020届山西省大同市高三上学期第一次联合考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（　　  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】化简集合,再根据交集的概念进行运算可得.

【详解】

因为函数的值域为所以,

又集合,所以.

故选:D

【点睛】

本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题.

2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】根据定义把写出复数的代数形式，再写出对应点坐标．

【详解】

由题意，对应点为，在第二象限．

故选B．

【点睛】

本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义．解题关键是依定义把复数的指数形式化为代数形式．本题考查数学文化，使学生认识到数学美．

3．质监部门对2辆新能源汽车和3辆燃油汽车进行质量检测，现任取2辆，则选中的2辆都为燃油汽车的概率为（    ）

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

【答案】D

【解析】对所有车辆编号，能源车与燃油车区别开来，用列举法写出任取2辆的所有情况．计数后可求得概率．

【详解】

2辆新能源汽车编号为，3辆燃油汽车编号为，任取2辆的所有情况如下：

共10种，其中2辆都为燃油汽车的有共3种，所以所求概率为．

故选：D．

【点睛】

本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件，得事件的总数，然后再计算出所求概率事件所包含的基本事件的个数即可计算概率．

4．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】结合三角函数定义求出，然后再计算．

【详解】

∵角的终边经过点，∴是第一象限角，不妨设其为锐角，

又，∴，∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．

5．“”是“方程为椭圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】求出方程为椭圆时的取值范围，再分析充分必要条件．

【详解】

方程表示椭圆，则，解得或．

∴“”是“方程为椭圆”的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】

本题考查充分必要条件的判断，考查方程表示椭圆的条件．注意二次方程表示椭圆时除了要求以外还有，这个容易遗忘．

6．设为等差数列，，为其前n项和，若，则公差（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【解析】用基本量法求解，即把用和表示．

【详解】

∵为等差数列，，

∴，解得．

故选：B．

【点睛】

本题考查等差数列的前项和公式，方法是基本量法，属于基础题．

7．函数的图象大致为（　　　  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.

【详解】

因为 ,

所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;

因为,故排除,

因为由图象知,排除.

故选:A

【点睛】

本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.

8．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ）

A．向右平移个单位             B．向右平移个单位

C．向左平移个单位             D．向左平移个单位

【答案】B

【解析】试题分析：，可以将函数的图象向右平移个单位即可.

【考点】1、三角恒等变换；2、图象平移.

【方法点睛】先平移的话，如果平移个单位长度，那么相位就会改变， 而先伸缩势必会改变的大小，这时再平移，要使相位改变值仍为，那么平移长度一定不等于， 因此二者平移长度不一样，原因就是发生了变化 . 平移到，因为是自变量，平移的长度只与有关，毕竟是在轴上平移，所以要针对而不是来确定，这也是三角函数图象平移伸缩变换问题中要特别注意的原因，像平移到，就得向右平移个单位长度.

9．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.

【详解】

由题意及图，，

又，，所以，∴（1﹣m），

又t，所以，解得m，t，

故选C．

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段中点的纵坐标为4，，则（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】B

【解析】利用抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解．

【详解】

如图，设是中点，在抛物线准线上的射影分别为，设，抛物线中，，，∴，又是的中点，∴，

∴，．

故选：B．

【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦性质，可直接利用焦点弦性质解题．焦点弦性质：对抛物线，是它的焦点弦，，则．，．

11．设是定义在R上的偶函数，且在单调递增，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用偶函数性质函数值中的自变量转化为上，然后利用单调性比较大小．

【详解】

，∵是偶函数，∴，

易知，，∴，又在上递增，∴，即．

故选：A．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性，考查指数函数与对数函数的性质．利用偶函数把函数值中自变量转化为上的数，利用指数函数与对数函数的性质比较它们的大小，最后由函数的单调性得出结论．

12．如图所示的三棱柱，其中，若，当四棱锥体积最大时，三棱柱外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】四棱锥体积是三棱柱体积的，因此要三棱柱体积，而棱柱的高最大值为，因此只要最大即可，此时三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，是斜边，因此其外接球球心是和的交点．由此可得外接球半径．

【详解】

∵，∴，∴只要三棱柱体积取最大值，则四棱锥体积最大，三棱柱的高最大值为，

∴此时，，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2（此时），∴．连接交于点，设分别是的中点，则，且，从而平面，由知是的外心，∴是三棱柱外接球的球心，在正方形中，，∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查球的体积，考查三棱柱与其外接球，考查棱柱与棱锥的体积．本题难点有两个，一个是三棱柱体积最大时三棱柱中的线面位置关系，一个是外接球的球心位置．多面体的外接球球心一定在过各面外心的该面的垂线上．

二、填空题

13．已知函数在点处的切线方程为，则_______．

【答案】3

【解析】由f（x）＝aex+b，得f'（x），因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，故（0，f（0））适合方程y＝2x+1，且f′（0）＝2；联立可得结果．

【详解】

由f（x）＝aex+b，得f'（x）＝aex，

因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，

所以解得a＝2，b＝﹣1．

a﹣b＝3．

故答案为：3．

【点睛】

本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题．

14．已知正实数m，n满足，则的最小值是________.

【答案】

【解析】利用已知条件配凑出：，展开后可用基本不等式求得最小值．

【详解】

∵正实数m，n满足，

∴，当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值．基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．其中定值常常需要我们配凑出，而“1”的代换是常用的配凑法．

15．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则面积为___．

【答案】

【解析】由题意首先求得角A的大小，然后结合余弦定理和三角形面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得：

，，，.

利用余弦定理有：，

结合，可得：，

则.

故答案为.

【点睛】

本题考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．

16．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】将题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.

【详解】

，

则可知在单调递增，在单调递减.故.

在单调递减，在单调递增.故.

，使得成立，则，所以.

【点睛】

本题解题的关键是将存在性问题转化为最值问题求解. 常见的存在性问题有：（1）有解，则.（2）有解，则.

三、解答题

17．已知数列是递减的等比数列，，且，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列前n项和.

【答案】（1）,（2）=

【解析】（1）由，，成等差数列求出公比后，可得的通项公式；

（2）由（1）计算出，因此用裂项相消法求数列的和．

【详解】

（1）设数列的公比为q，由成等差数列得，又，所以，即，解得或（舍去），

故，即数列的通项公式为.

（2），,

.

【点睛】

本题考查求等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，考查裂项相消法求数列的和，在用裂项相消法求数列和时，要注意相消的项是连续相消还是间隔相消．

18．四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】(1)见证明；(2)1

【解析】（1）根据题意，求得，，再利用余弦定理求出

，，是等腰三角形，最后得出平面得证；

(2) 取中点，证明，再证明平面，故平面，然后求得BM的长即可.

【详解】

（1）在直角梯形中，，，

在中，由余弦定理，，，，是等腰三角形，

所以，，平面，则平面平面.

（2）取中点，连接，，为平行四边形，所以，，由，所以，又由于平面，所以，所以平面，所以平面，所以到平面的距离为1.

【点睛】

本题主要考查了立体几何的综合知识，垂直关系是解题的关键，属于中档题.

19．峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：00—22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00—次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50 户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以，，，，，（单位：度）分组的频率分布直方图如下图：

若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住户称为“一般用户”．其中，使用峰谷电价的户数如下表：

(1)估计所抽取的 50户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)（）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面的列联表:

()根据（）中的列联表，能否有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？

附：，

【答案】（1）众数600度，平均数640度（2）（）见解析；()不能有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.

【解析】(1)由频率分布直方图计算出众数与平均数

(2)完善列表联并计算出是否有关

【详解】

（1）根据频率分布直方图的得到度到度的频率为：

，

估计所抽取的户的月均用电量的众数为：（度）；

估计所抽取的户的月均用电量的平均数为：

（度）

（2）依题意，列联表如下

的观测值

所以不能有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图，并完善列表联计算线性相关性，较为基础，需要掌握解题方法

20．设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆：的圆心.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意求得a，b的值即可确定椭圆方程；

（Ⅱ）分类讨论，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围

试题解析：

（1）由题意知，则，

圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，

所以，又，得．

所以椭圆的方程为：.

（2）可知椭圆右焦点．

（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，

可得：，，四边形面积为12. 

（ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，

可得：，，四边形面积为. 

（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为 ，并设，.

由得.

显然，且， .

所以.     

过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，

所以. 

故四边形面积：.

可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,).

综上，四边形面积的取值范围为．

21．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，试判断的零点个数.

【答案】（1）当时，在上是增函数，

当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；

（2）1

【解析】（1）对求导后对进行分类讨论，找到和的区间，即为的单调区间.

（2）由（1）可知时，有极大值和极小值，研究他们的正负，并且找到令的点，根据零点存在定理，找出零点个数.

【详解】

（1）函数的定义域为，，令，则，，

（i）若，则恒成立，所以在上是增函数，

（ii）若，则，

当时，，是增函数，

当时，，是减函数，

当时，，是增函数，

（iii）若，则，

当时，，是增函数，

当时，，是减函数，

当时，，是增函数，

综上所述：当时，在上是增函数，

当，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；

（2）当时，

在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

所以的极小值为，

的极大值为,

设，其中，

,

所以在上是增函数，

所以，

因为，

所以有且仅有1个，使.

所以当时，有且仅有1个零点.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间，极值、最值，以及函数的图像和零点问题，涉及分类讨论的数学思想，题目比较综合，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）设点分别为曲线与曲线上的任意一点，求的最大值；

（2）设直线（为参数）与曲线交于两点，且，求直线的普通方程.

【答案】(1)7；(2) 或

【解析】(1)将曲线和都化成普通方程后,可知的最大值是圆心距加上两个圆的半径;

(2) 将直线的参数方程代入中后,利用韦达定理以及参数的几何意义可得弦长,代入已知,可解得斜率,再由点斜式可得直线的方程.

【详解】

解：（1）由得，所以曲线的普通方程为，圆心，半径.

曲线的直角坐标方程为，圆心，半径.

∴.

（2）将直线的参数方程代入中，得，

整理得，

∴.

设两点对应的参数分别为，则，.

由及参数的几何意义，

得，

解得，满足，所以,

∴直线的斜率为或,

由点斜式得或,

∴直线的方程为或.

【点睛】

本题考查了参数方程和极坐标方程化直角坐标方程,直线参数方程的几何意义,直线的点斜式方程,属于中档题.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】(1)分3段解不等式后,结果求并集可得;

(2)转化为在和上都恒成立可得.

【详解】

解：（1）当时，

当时，由，得；

当时，由，得，无解；

当时，由，得.

综上，的解集为.

（2）等价于.

当时，，

∴，

则有，，得.

当时，，

∴，

∴对任意的恒成立，

∴得.

综上，实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法,绝对值不等式在闭区间上恒成立问题,属于中档题.