2023届贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试(三)数学(文)试题(解析版)
展开一、单选题
1.已知集合,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】利用对数函数的定义域化简集合,再根据集合交集的定义求解即可.
【详解】由对数函数的定义域可得或,
所以或,
所以,
故选:C.
2.若是纯虚数,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算,复数的概念,可得复数,即可求解复数的模.
【详解】解:,因为是纯虚数,所以,则.
故选:C.
3.甲乙两位射击运动员参加比赛,抽取连续5轮射击比赛的成绩情况如下:
甲:80、70、80、90、90;乙:70、80、80、80、70
则下列说法中正确的是( )
A.甲平均成绩高,甲成绩稳定B.甲平均成绩高,乙成绩稳定
C.乙平均成绩高,甲成绩稳定D.乙平均成绩高,乙成绩稳定
【答案】B
【分析】分别求甲、乙的平均值和方差分析即可.
【详解】由题意可得
甲:,
,
乙:,
,
因为且,
故选:B.
4.已知等差数列的前n项和为,若,则( )
A.25B.40C.44D.55
【答案】D
【分析】由等差数列的性质求解.
【详解】等差数列中,,则,则.
故选:D.
5.已知平面向量,若与垂直,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根据向量得坐标运算即可求得的值.
【详解】由题可知:,
因为,
所以
,
故选:A.
6.已知,则a,b,c这三个数的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】结合对数函数的性质求得正确答案.
【详解】,
,
则.
故选:C
7.设实数x,y满足约束条件,则的最小值为( )
A.B.8C.3D.1
【答案】D
【分析】画出可行域,目标函数表示直线在轴的截距,平移得到答案.
【详解】如图所示,画出可行域:
由题分析,目标函数,,目标函数表示直线在轴的截距,
所以当直线经过点时目标函数取最小值1,
故选:D
8.下列可能是函数对称中心的是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换将函数整理成余弦型函数,按照余弦函数对称中心求解,即可判断.
【详解】解:
令,,则,对称中心为,,
当时,对称中心为.
故选:B.
9.已知双曲线的右焦点为,点是其渐近线上的一点,若的最小值为,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.3D.
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离结合双曲线的几何意义求解即可.
【详解】由题可知,双曲线渐近线为,
则右焦点到渐近线距离为,
所以,
故选:A.
10.某三棱锥的三视图如图所示,其正视图、侧视图和俯视图均是正方形且其外接球表面积为,则该几何体的体积是( )
A.B.4C.D.
【答案】A
【分析】由三视图还原得到在正方体中截取的三棱锥,计算正方体的棱长,再计算体积即可.
【详解】由三视图还原如图可知,该三棱锥是在正方体中截取的三棱锥.三棱锥的外接球就是正方体的外接球,
设正方体的边长为,其外接球的半径为r,则由题可知 ,
解得,所求体积是正方体减4个一样的三棱锥:.
故选:A
11.已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A,B两点,Q为弦的中点,P为C上一点,则的最小值为( )
A.B.8C.D.5
【答案】B
【分析】根据给定条件,求出直线AB的方程,再与抛物线方程联立,结合抛物线定义,借助几何意义求解作答.
【详解】抛物线,焦点,准线,直线AB的方程为,
由消去y并整理得:,设,,则,
弦中点Q的横坐标,过点作准线l的垂线,垂足为点,如图,
令交抛物线于点P,在抛物线上任取点,过作于点,连接,
即有,,
当且仅当点与P重合时取等号,
所以的最小值为.
故选:B
12.已知是定义在R上的函数,是的导函数,且,则下列结论一定成立的是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】结合题目条件与选项构造新函数,通过新函数的单调性求解.
【详解】令,则,则是增函数,所以,即,所以.
故选:D.
二、填空题
13.求值______________.
【答案】
【分析】直接利用正弦的倍角公式进行求值即可得解.
【详解】.
故答案为:
14.记的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,面积为,,且,则______________.
【答案】4
【分析】先利用面积公式求,再利用余弦定理求角.
【详解】,则,
,
解得.
故答案为:4.
15.已知函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为______________.
【答案】
【分析】利用奇函数的定义求,再根据导数的几何意义求解即可.
【详解】因为为奇函数,
所以即,解得,
则,所以切点,,
所以切线斜率,切线方程为,
故答案为:.
16.已知定义在R上的函数满足如下条件:①函数的图象关于y轴对称;②对于任意;③当时,;若过点的直线l与函数的图象在上恰有4个交点,则直线l的斜率k的取值范围是______________.
【答案】
【分析】根据函数奇偶性以及周期性,作图,利用数形结合的思想,找到临界问题,可得答案.
【详解】函数的图象关于轴对称,则为偶函数,
任意,,则,即为周期为2的周期函数,
则直线以及函数,作图如下:
则直线斜率时,直线可与的图象有4个交点,
当直线过点和时,直线与只有3个交点,此时,
所以.
故答案为:
三、解答题
17.已知数列的前n项和为为等差数列的前n项和,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)利用与之间的关系与等差数列的基本量计算即可写出通项公式.
(2)利用分组转化求和即可求得.
【详解】(1),;
,,
,
设等差数列的公差为
则,,
,,
.
(2),
18.如图,在三棱锥是,,且,O为的中点,若是边长为1的等边三角形,且.
(1)证明:平面平面;
(2)求点O到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据面面垂直判定定理,先证线面垂直,利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质,可得答案;
(2)利用等体积法,可得求得答案.
【详解】(1)证明:,为中点,,,,
又在中,,,,,,
又,平面,平面,
平面,平面平面.
(2)设点到平面ABC的距离为,,
在(1)中已经证明平面,是边长为1的等边三角形,
,,,
所以,
在中,由余弦定理可得,解得,
在中,,
在中,由余弦定理可得,,,
,解得.
19.为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数,收集数据如下:
(1)在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图,并由散点图判断(为常数)与(为常数,且)哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)对于非线性回归方程(为常数,且),令,可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值.
(ⅰ)证明:“对于非线性回归方程,令,可以得到繁殖个数的对数关于天数具有线性关系(即为常数)”;
(ⅱ)根据(ⅰ)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程(系数保留2位小数).
附:对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【答案】(1)选择为回归方程较宜
(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)
【分析】(1)根据散点图趋势选择;(2)将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型,结合所给数据求解.
【详解】(1)作出散点图如图所示.
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围,
故选择为回归方程较宜.
(2)(i)证明:由已知:令,则,
则,,即.所以繁殖个数的对数关于天数具有线性关系.
(ii)由(i)知繁殖个数的对数关于天数可以用线性回归方程来拟合.由表中数据可得,
,
,
得到关于的线性回归方程为,又,
因此细菌的繁殖个数关于天数的非线性回归方程为.
20.已知动圆M过定点,并且在定圆的内部与其内切,O为坐标原点.
(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程;
(2)设过点P的直线l与E相交于A,B两点,求面积的最大值及此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)最大值为,或.
【分析】(1)由题设条件结合两圆内切列出两圆圆心距满足的式子,再结合椭圆的定义得到动圆圆心M的轨迹,进而可求出其轨迹方程.
(2)结合题目条件设出直线l的方程和A,B两点的坐标,再把直线方程与椭圆方程联立,得到和韦达定理,用求出三角形的面积,再运用基本不等式求出面积的最大值并得到此时直线l的方程.
【详解】(1)由题设条件知动圆的半径,定圆的圆心,半径,
由已知,,即,
又,,
由椭圆定义知,动圆圆心的轨迹是以两点为焦点的椭圆,
则.
故:所求轨迹的方程为.
(2)由题设条件知,直线的斜率不为0,故设的方程为:,,,
联立,消,得,
恒成立,
则,异号,
,
当且仅当,即时等号成立,
面积的最大值为,此时,直线的方程为,
即或.
故:面积的最大值为,直线的方程为或.
【点睛】方法点睛:
(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
(3)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
21.已知函数,,其中,是自然对数的底数.
(1)若有两个零点,求的取值范围;
(2)若的最大值等于的最小值,求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】(1)求出函数的定义域与导函数,即可得到函数的单调区间,从而求出函数的最小值,依题意只需,即可求出参数的取值范围;
(2)利用导数求出,即可得到,令,利用导数说明函数的单调性,即可求出函数的零点,从而得解.
【详解】(1)解:因为定义域为,
又,
因为,
当时,,当时,,
当时,,
在上单调递减,在上单调递增,
,
当时,,所以,
又的增长趋势大于,所以当时,
则,
所以要使有两个零点,,则,
.
(2)解:由,得,
又,
当时,;当,,当,,
在上单调递增,在上单调递减,
,
由(1)知,.
由题意得,,
令,,
所以当时,当时,
即在上单调递减,在上单调递增,
所以,从而有且仅有一个零点,
的解为,即所求的值为1.
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
22.在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(,t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)已知直线l与x轴的交点为F,且曲线C与直线l交于A,B两点,求的值.
【答案】(1),.
(2)8
【分析】(1)根据完全平方公式以及基本不等式,结合整体换元,利用极坐标等量公式,可得答案;
(2)利用直线的直角坐标系方程,求得点的坐标,根据直线参数方程代入抛物线方程,利用韦达定理,可得答案.
【详解】(1)由曲线C的参数方程为,则,
,当且仅当,即时,等号成立,
故曲线的直角坐标方程:,
由,且直线l的极坐标方程为,则曲线的直角坐标方程:.
(2)由直线方程为,则,
直线的参数方程为(为参数),代入曲线:,
可得,
所以,由直线参数方程的意义可知,
所以.
23.已知.
(1)当时,求的解集;
(2)若的解集包含,求a的取值范围.
【答案】(1).
(2).
【分析】(1)通过讨论的范围解不等式.
(2)结合的解集包含来化简不等式,进而解出不等式,再利用解集包含求出a的取值范围.
【详解】(1)当时,
当时,不等式为,解得,故;
当时,不等式为,解得,无解;
当时,不等式为,解得,故,
综上所述,不等式的解集为.
故答案为:.
(2)的解集包含,即在上成立,
即的解集包含, 即,解得,
由已知可得解得,
所以的取值范围为.
故答案为:.
天数
1
2
3
4
5
6
繁殖个数
6
12
25
49
95
190
3.50
62.83
3.53
17.50
596.57
12.09
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