2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出集合，，由此能求出．
【详解】
解：
故选：
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
2．下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据函数的单调性的定义以及函数的奇偶性的性质判断即可．
【详解】
解：对于，是奇函数，但是在定义域上不具有单调性，不合题意；
对于，函数是奇函数，且故函数在定义域上单调递增，符合题意；
对于，函数是偶函数，不合题意；
对于，函数定义域为上的奇函数，故函数在定义域上单调递减，不合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，属于基础题．
3．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可．
【详解】
解：由则，故充分性不成立
由得不到，如时，故必要性不成立，
故“”是“”的既不充分也不必要
故选：
【点睛】
本题考查了充分必要条件，属于基础题．
4．已知正项等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A．10 B．12 C．16 D．32
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为根据条件求出公比即可得解.
【详解】
解：设等比数列的公比为
，
解得或（舍去）
所以
故选：
【点睛】
本题考查等比数列的性质，属于基础题.
5．设点M是线段的中点，点A在直线外，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．6
【答案】C
【解析】先求出，又因为，可得答案．
【详解】
解：由，得，
，
而
故选：．
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
6．直线l：（）与圆C：交于两点P､Q，则弦长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过直线转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线被圆截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．
【详解】
解：由直线得：，令解得故恒过定点．
因为，
则点在圆的内部，直线与圆相交．
圆心，半径为，，
当截得的弦长最小时，，最短的弦长是．
因为直线l：的斜率存在，故不能取到最小值，
再由经过圆心时弦长最长为，则．
故选：．
【点睛】
本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．
7．已知奇函数的图像如图所示，则函数的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】采用特殊值法判断函数图象.
【详解】
解：由的图象可知，，
令，得；
令，得
故只有满足条件，
故选：
【点睛】
本题考查函数图象的识别，利用特殊值法比较简单易行，属于基础题.
8．，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由指数函数、对数函数的性质判断可得.
【详解】
解：，
，即
，即
故
故选：
【点睛】
考查对数函数、指数函数的单调性的应用，属于基础题．
9．，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】利用两角和差的正弦公式展开，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】
解：
故选：
【点睛】
本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.
10．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】把代入，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值．
【详解】
解：把代入
故选：
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，属于基础题．
11．，若存在､､､满足，且，则的值是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【解析】根据函数解析式画出函数图象，数形结合即可得解.
【详解】
解：可画出函数的图象如下所示：
依题意存在､､､满足，且
则，
又函数关于对称所以，
故选：
【点睛】
本题考查函数方程综合应用，数形结合思想，属于中档题.
12．正方体（棱长为1）中，点P在线段上（点P异于A､D两点），线段的中点为点Q，若平面截该正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设平面与直线交于点，可知，则从而得到，要使平面截该正方体所得的截面为四边形，则需点在线段之间，从而得到的取值范围，即可求出，即可得解.
【详解】
解：如图，设平面与直线交于点，
是正方体，则面面
面面，面面
则
要使平面截该正方体所得的截面为四边形，则需点在线段之间
当在点时，恰在的中点，
因为点在线段上（点异于､两点）
则，
即
所以
故选：
【点睛】
题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，涉及正方体的截面问题，属中档题．
二、填空题
13．函数在点处的切线方程为，则______，______.
【答案】2 1
【解析】首先求出函数的导数，根据在点处的切线方程为，则，，代入计算可得.
【详解】
解：
，
因为函数在点处的切线方程为
，，即，，所以，.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
14．设x，y满足约束条件，则的最小值是______.
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
解：解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得．
．
化为．
由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最大，最小．
此时．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．
15．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E，F分别为，的中点，，则球O的体积为______.
【答案】
【解析】可证，则为的外心，又则平面
即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.
【详解】
解：，，
，因为为的中点，所以为的外心，
因为，所以点在内的投影为的外心，
所以平面，
平面
，
所以，
所以，
又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，.
故答案为：
【点睛】
本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．
16．，下列说法错误的是______.
①的值域是；
②当且仅当（）时，；
③当且仅当（）时，取得最小值；
④是以为最小正周期的周期函数.
【答案】①③④
【解析】将函数解析式化简并用分段函数表示出来，画出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】
解：
则画出函数图象如下：
观察函数图象可得：函数的值域为，故①错误；
当且仅当（）时，，故②正确；
当或（）时，取得最小值，故③错误；
函数是以为最小正周期的周期函数，故④错误；
故错误的有：①③④
故答案为：①③④
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的应用，属于中档题.
三、解答题
17．已知的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若.
（1）求C的值；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用二倍角公式将式子变形为即可求出即可得解；
（2）由正弦定理求出，即可求出，再由面积公式计算可得.
【详解】
解：（1）由得，
所以或（舍去）
，所以.
（2）由正弦定理得，，即，
又，所以，所以
所以
，
所以
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，两角和的正弦公式的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.
18．已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）为数列的前n项和，求证：.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）利用累加法求出数列的通项公式；
（2）裂项相消法求出即可得证.
【详解】
解：（1）
取得，
……
相加得
所以
（2）由（1）得，
所以
因随着n的增大而增大，所以
又
所以
【点睛】
本题累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.
19．三棱柱中，棱､､的中点分别是P､Q､O.
（1）求证：平面；
（2）若三棱柱的体积为，求三棱柱的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）通过证明四边形为平行四边形，得到，即可得证；
（2）根据及三棱柱的体积为计算可得.
【详解】
解：（1）证明：设M为的中点，连接，则且
又，，，
且
为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）
又平面
【点睛】
本题考查线面平行的证明，锥体的体积计算，属于基础题.
20．已知两定点，，点P满足.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若，直线l与轨迹C交于A，B两点，，的斜率之和为2，问直线l是否恒过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）（2）直线l过定点，定点为
【解析】（1）设P的坐标为，由题意得，得到方程化简即可；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线l的斜率存在时，设，，直线l的方程为，联立直线与曲线方程，消元列出韦达定理根据得到、的关系，即可求出直线过的定点.
【详解】
解：（1）设P的坐标为，由题意得，
化简得：
（2）当直线l的斜率不存在时，
设，
则有，得，此时直线l与圆相切，不合题意.
当直线l的斜率存在时，
设，，直线l的方程为，与轨迹C联立得
，，，
所以
所以
所以直线l的方程为
所以直线l过定点.
【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程，直线与圆的综合应用，直线过定点问题，属于中档题.
21．现计划用两张铁丝网在一片空地上围成一个梯形养鸡场，，，已知､两段是由长为的铁丝网折成，､两段是由长为的铁丝网折成.设上底的长为，所围成的梯形面积为.
（1）求S关于x的函数解析式，并求x的取值范围；
（2）当x为何值时，养鸡场的面积最大?最大面积为多少?
【答案】（1），，（2）当x为时，养鸡场的面积最大，最大为.
【解析】（1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含的代数式表示出上、下底和高，从而表示出面积；
（2）利用导数最值求出最大值
【详解】
解：（1）由题意，，，
过A点作，垂足为E，则，
梯形的高
由，解得.
综上，，
（2）设，，
令，得（，舍去）
时，，单调递增，
时，，单调递减.
∴当时，的最大值是1080000，此时.
∴当为时，养鸡场的面积最大，最大为.
【点睛】
本题主要考察用函数模型解决实际问题，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
22．已知函数（）.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）
【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定的范围即可．
【详解】
解：（1）由题意可得的定义域为，
当时，易知
∴由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可得，
当时，，
记，则，
∵在内有两个极值点，
∴在内有两个零点，
∴.
令，则，
当，即时，，所以在上单调递减，
的图像至多与x轴有一个交点，不满足题意.
当，即时，在上，单调递增，
的图像至多与x轴有一个交点，不满足题意.
当，即时，在上单调递增，在上单调递减
由知，要使在内有两个零点，必须满足，解得.
综上，实数a的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．
