2020届江苏省镇江市高三上学期第一次调研考试（期末）数学试题

江苏省镇江市2019—2020学年高三上学期第一次调研考试

数学试卷

2020．01

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．已知集合A＝，B＝{﹣1，1，2}，则AB＝       ．

2．设复数（其中i为虚数单位），则＝       ．

3．右图是一个算法的伪代码，则输出的结果是       ．

4．顶点在原点且以双曲线的右焦点为焦点的抛物

线方程是       ．                                             第3题

5．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1：，l2：，若直线l1∥l2，则m＝       ．

6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是       ．

7．若实数x，y满足条件，则的最大值为       ．

8．将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则＝       ．

9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，则三棱锥B—ECF的体积为       ．

10．等比数列的前三项和，若，，成等差数列，则公比q＝       ．

11．记集合A＝[a，b]，当[，]时，函数的值域为B，若“”是“”的必要条件，则b﹣a的最小值是       ．

12．已知函数，若对任意的x[m，m＋1]，不等式恒成立，则实数m的取值范围是       ．

13．过直线l：上任意一点P作圆C：的一条切线，切点为A，若存在定点B(，)，使得PA＝PB恒成立，则﹣＝       ．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知三个点A(2，1)，B(1，﹣2)，C(3，﹣1)，点P(x，y)满足，则的最大值为       ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是AP的中点，AB⊥BD, PB⊥PD，平面PBD⊥底面ABCD．

（1）求证：PC∥平面BDE；

（2）求证：PD⊥平面PAB．

16．（本题满分14分）

如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB＝14，BD＝6，．

（1）若C＞B，且cos(C﹣B)＝，求角C；

（2）若△ACD的面积为S，且，求AC的长度．

17．（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：(a＞b＞0)的长轴长为4，左准线l的方程为x＝﹣4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝，求直线l1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G(，0)，求证：A1，B，G三点共线．

18．（本题满分16分）

某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆弧轨道到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为，轨道总长度为l米．

（1）试将l表示为的函数，并写出的取值范围；

（2）求l最小时cos的值．

19．（本题满分16分）

已知函数(aR)．

（1）当a＝0，证明：；

（2）如果函数有两个极值点，(＜)，且恒成立，求实数k的取值范围；

（3）当a＜0时，求函数的零点个数．

20．（本题满分16分）

已知，数列的前n项和为，且；数列的前n项和为，且满足，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，问：数列中是否存在不同两项，（1≤i＜j，i，j），使＋仍是数列中的项?若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由．

参考答案

11．3     12．     13．     14．

15．

16．

17．

18．

19．

20．