江苏省南通市、泰州市2020届高三上学期第一次调研考试数学试题含答案

2020届高三第一次调研测试

数　　学

(满分160分，考试时间120分钟)

2020．1

参考公式：

锥体的体积公式：V锥体＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A＝{－1，0，2}，B＝{－1，1，2}，则A∩B＝________．

2. 已知复数z满足(1＋i)z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为________．

a←1

i←1

While i≤4

　 a←a＋i

　 i←i＋1

End While

Print a

　 (第4题)

3. 某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为________．

4. 根据如图所示的伪代码，输出a的值为________．

5. 已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为________．

6. 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为________．

7. 在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1BB1C1的体积为________．

8. 已知函数f(x)＝sin(ωx－)(ω>0)．若当x＝时，函数f(x)取得最大值，则ω的最小值为________．

9. 已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－8)x(m∈R)是奇函数．若对于任意的x∈R，关于x的不等式f(x2＋1)<f(a)恒成立，则实数a的取值范围是________．

10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2－y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为________．

11. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的________倍．

12. 已知△ABC的面积为3，且AB＝AC.若＝2，则BD的最小值为________．

13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＝8与圆C2：x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为________．

14. 已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋2af(x)＋1－a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PC⊥AB，点D，E分别为BC，AC的中点．求证：

(1) AB∥平面PDE；

(2) 平面PAB⊥平面PAC.

16. (本小题满分14分)

在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝－.

(1) 求sin A的值；

(2) 求·的值．

17. (本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．

(1) 求椭圆E的标准方程；

(2) 已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P.

①若M，N分别是BC，CD的中点，求证：点P在椭圆E上；

②若点P在椭圆E上，求证：为定值，并求出该定值．

18. (本小题满分16分)

在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且θ∈(0，)．顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1.

(1) 当θ＝时，求六边形徽标的面积；

(2) 求六边形徽标的周长的最大值．

19. (本小题满分16分)

已知数列{an}满足：a1＝1，且当n≥2时，an＝λan－1＋(λ∈R)．

(1) 若λ＝1，求证：数列{a2n－1}是等差数列；

(2) 若λ＝2.

①设bn＝a2n＋，求数列{bn}的通项公式；

②设Cn＝求证：对于任意的p，m∈N*，当p>m时，都有Cp≥Cm.

20. (本小题满分16分)

设函数f(x)＝(ax－－a)ex(a∈R)，其中e为自然对数的底数．

(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调减区间；

(2) 已知函数f(x)的导函数f′(x)有三个零点x1，x2，x3(x1<x2<x3)．

①求实数a的取值范围；

②若m1，m2(m1<m2)是函数f(x)的两个零点，求证：x1<m1<x1＋1.

2020届高三模拟考试试卷(二)

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修4-2：矩阵与变换)

已知a，b∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．

(1) 求矩阵A；

(2) 若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(2，2)，求点P的坐标．

B. (选修4-4：坐标系与参数方程)

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．

C. (选修4-5：不等式选讲)

已知a，b，c都是正实数，且＋＋＝1.求证：

(1) abc≥27；

(2) ＋＋≥1.

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2.

(1) 求二面角C1B1CD1的余弦值；

(2) 若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．

23. 一只口袋中装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次(n∈N*)，且每次取1只球．

(1) 当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；

(2) 随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量Y＝求Y的数学期望(用n表示)．

2020届高三模拟考试试卷(二)(南通、泰州)

数学参考答案及评分标准

1. {－1，2}　2. 　3. 40　4. 11　5. 1　6. 　7. 　8. 5　9. (－∞，1)　10. 　11. 1 000

12. 　13. {8，8＋2，8－2}　14. (－1，1－)

15. 证明：(1) 在△ABC中，因为点D，E分别为BC，AC的中点，

所以AB∥DE.(3分)

因为AB⊄平面PDE, DE⊂平面PDE，

所以AB∥平面PDE.(6分)

(2) 因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB.(8分)

因为PC⊥AB，PA，PC⊂平面PAC，PA∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC.(11分)

因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(14分)

16. 解：(1) 在△ABC中，因为B∈(0，π)，cos B＝－，sin2B＋cos2B＝1，

得sin B＝＝＝.(2分)

又AC＝4，BC＝3，由正弦定理，得＝，(4分)

所以sin A＝＝＝.(6分)

(2) (解法1)由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，(8分)

即42＝AB2＋32－2AB×3×(－)，解得AB＝2或AB＝－(舍去)．(11分)

所以·＝||·||cos B＝2×3×(－)＝－.(14分)

(解法2)在△ABC中，由条件得AC>BC，所以B>A，所以A∈(0，)，

所以cos A＝＝＝.(8分)

所以sin C＝sin  [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

＝×(－)＋×＝.(10分)

由正弦定理，得＝，

所以AB＝＝＝2.(12分)

所以·＝||·||cos B＝2×3×(－)＝－.(14分)

17. (1) 解：设椭圆E的焦距为2c，

则由题意，得解得　所以b2＝a2－c2＝4.

所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(3分)

(2) 证明：① 由已知，得M(2，2)，N(0，4)，A(－2，0)，B(2，0)．

直线AM的方程为y＝(x＋2)，直线BN的方程为y＝－x＋4.

联立解得即P(，)．(6分)

因为＋＝＋＝1，所以点P在椭圆E上．(8分)

②(解法1)设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则＋＝1，y＝(8－x)．

直线AP的方程为y＝(x＋2)，

令x＝2，得yM＝.

直线BP的方程为y＝(x－2)，

令y＝4，得xN－2＝.(12分)

所以＝＝|·|＝||＝||＝.(14分)

(解法2)设直线AP的方程为y＝k1(x＋2)(k1>0)，令x＝2，得yM＝4k1.

设直线BP的方程为y＝k2(x－2)(k2<0)，令y＝4，得xN－2＝.(10分)

而＝＝|k1k2|.(12分)

设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则＋＝1，

所以k1k2＝·＝＝＝－，

所以＝.(14分)

18. 解：连结OA，OA1，OB，OB1，OC，OC1.在正三角形ABC中，∠AOB＝，OA＝×a＝a，∠AOA1＝θ，∠A1OB＝－θ.(2分)

当正三角形ABC绕中心O逆时针旋转到正三角形A1B1C1位置时，

有OA＝OB＝OC＝OA1＝OB1＝OC1，∠AOA1＝∠BOB1＝∠COC1＝θ，

∠A1OB＝∠B1OC＝∠C1OA，

所以△AOA1≌△BOB1≌△COC1，△A1OB≌△B1OC≌△C1OA，

所以AA1＝BB1＝CC1，A1B＝B1C＝C1A.(4分)

(1) 当θ＝时，设六边形徽标的面积为S，则

S＝3(S△AOA1＋S△A1OB)＝3×(OA1·OAsin ∠AOA1＋OA1·OBsin ∠A1OB)(6分)

＝3×(×a×a×sin ＋×a×asin )＝a2.

答：当θ＝时，六边形徽标的面积为a2.(9分)

(2) 设六边形徽标的周长为l，则

l＝3(AA1＋A1B)＝3[2OAsin ＋2OA1sin(－)](11分)

＝2a(sin ＋cos )＝2asin(＋)，θ∈(0，)．(13分)

所以当＋＝，即θ＝时，l取最大值2a.

答：六边形徽标的周长的最大值为2a.(16分)

19. (1) 证明：λ＝1时，由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，得(2分)

所以a2n＋1＝a2n－1＋1，即a2n＋1－a2n－1＝1(常数)，

所以数列{a2n－1}是首项为1，公差为1的等差数列．(4分)

(2) ①解：λ＝2时，a1＝1，n≥2时，an＝2an－1＋.

n≥2时，所以a2n＝4a2n－2＋2，(6分)

所以a2n＋＝4(a2n－2＋)．

又bn＝a2n＋，所以bn＝4bn－1.(8分)

又b1＝a2＋＝2a1＋＝≠0，所以＝4(常数)．

所以数列{bn}是首项为，公比为4的等比数列，

所以数列{bn}的通项公式为bn＝·4n－1＝·4n(n∈N*)．(10分)

②证明：由①知，a2n＝bn－＝(4n－1)，a2n－1＝a2n＝(4n－1)．

所以

所以Cn＝[－n](n∈N*)．(12分)

所以Cn＋1－Cn＝－＝.(14分)

当n＝1时，C2－C1＝0，所以C2＝C1；当n＝2时，C3－C2＝0，所以C3＝C2；当n≥3，Cn＋1－Cn>0，所以Cn＋1>Cn.

所以若p>m(p，m∈N*)，则Cp≥Cm.(16分)

20. (1) 解：a＝0时，f(x)＝－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝.

令f′(x)<0，得x>1，所以函数f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．(3分)

(2) ①解：f′(x)＝，设g(x)＝ax3－x＋1，则导函数f′(x)有三个零点，即函数g(x)有三个非零的零点．

又g′(x)＝3ax2－1，若a≤0，则g′(x)＝3ax2－1<0，

所以g(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，g(x)至多有1个零点，不符合题意，所以a>0.(5分)

令g′(x)＝0，x＝±.列表如下：

所以即解得0<a<.(8分)

又g(0)＝1>0，所以g(x)在(－，)上有且只有1个非零的零点．

因为当0<a<时，－<－，>，

g(－)＝a(－)3＋＋1＝1－<0，且g()＝a()3－＋1＝1>0，

又函数g(x)的图象是连续不间断的，

所以g(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上各有且只有1个非零的零点．

所以实数a的取值范围是(0，)．(10分)

②证明：(证法1)由f(m1)＝f(m2)＝0，得

设p(x)＝ax2－ax－1(a>0)，且p(m1)＝p(m2)＝0，所以m1m2＝－<0.

因为m1<m2，所以m1<0<m2.

所以当x<m1或x>m2时，p(x)>0；当m1<x<m2时，p(x)<0.

由①知a>0，x1<0<x2<x3.

因为ax－x1＋1＝0，所以ax＝1－，ax1＝－，

所以p(x1)＝ax－ax1－1＝－(＋ax1)>0，

p(x1＋1)＝a(x1＋1)2－a(x1＋1)－1＝－<0.(14分)

所以x1<m1<x1＋1成立．(16分)

(证法2)依题设g(x1)＝ax－x1＋1＝0知ax＋－1＝0，

由①知x1<0，设h(x)＝ax2＋－1(x<0)，

由①知a>0，所以h′(x)＝2ax－<0，h(x)在(－∞，0)上单调递减．(12分)

又由f(mi)＝0，emi≠0得ami－－a＝0，即am－ami－1＝0(i＝1，2)，

所以m1m2＝－<0.又m1<m2，故m1<0，m2>0.

于是

(Ⅰ) h(m1)＝am＋－1＝(am1＋1)＋－1＝am1＋<0，即h(m1)<h(x1)＝0.

又m1，x1<0，所以x1<m1；(14分)

(Ⅱ) h(－m2)＝am－－1＝(am2＋1)－－1＝am2－＝a>0，即h(－m2)>h(x1)＝0.

又－m2，x1<0，故－m2<x1.

又m1＋m2＝1，所以m1－1<x1，即m1<x1＋1.

所以x1<m1<x1＋1，得证．(16分)

2020届高三模拟考试试卷(南通、泰州)

数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解：(1) 因为向量α＝[]是矩阵A＝[]的属于特征值3的一个特征向量，

所以Aα＝3α，即[][]＝3[]，

所以解得

所以A＝[]．(5分)

(2) 设P(x0，y0)，则[][]＝[]，

所以解得

所以点P的坐标为(1，0)．(10分)

B. 解：(解法1)直线l的普通方程为x＋2y＋3＝0.(2分)

设P(2cos θ，sin θ)，

则点P到直线l的距离d＝＝.(8分)

当sin(θ＋)＝1，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时，dmax＝.(10分)

(解法2)直线l的普通方程为x＋2y＋3＝0.

椭圆C的普通方程为＋y2＝1.(4分)

设与直线l平行的直线方程为x＋2y＋m＝0(m≠3)．

由消y，得2x2＋2mx＋m2－4＝0.

令Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m＝±2.(8分)

所以直线x＋2y±2＝0与椭圆C相切．

当m＝－2时，点P到直线l的距离d最大，dmax＝＝.(10分)

C. 证明：(1) 因为a，b，c都是正实数，所以＋＋≥3.

因为＋＋＝1，所以3≤1，即abc≥27，得证．(4分)

(2) 因为a，b，c都是正实数，

所以＋≥2＝　①，

＋≥2＝　②，

＋≥2＝　③.

由①＋②＋③，得＋＋＋＋＋≥2(＋＋)，

所以＋＋≥＋＋.

因为＋＋＝1，所以＋＋≥1，得证．(10分)

22. 解：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

因为AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AB⊥AA1，AD⊥AA1.

又AB⊥AD，以{，，}为正交基底，

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

由AB＝AD＝AA1＝2BC＝2，得A(0，0，0)，B(2，0，0)，

C(2，1，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，

C1(2，1，2)，D1(0，2，2)．(2分)

(1) ＝(－2，2，0)，＝(0，1，－2)，

设平面B1CD1的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，

则即

不妨取x1＝2，则y1＝2，z1＝1，所以n1＝(2，2，1)．(4分)

因为AB⊥平面B1C1C，所以平面B1CC1的一个法向量为＝(2，0，0)．

设二面角C1B1CD1的平面角的大小为α，根据图形可知

cos α＝cos〈，n1〉＝＝＝.(6分)

所以二面角C1B1CD1的余弦值为.

(2) 设AQ＝λ(0≤λ≤2)，则Q(λ，0，0)．

又点P为AD的中点，则P(0，1，0)，＝(λ，－1，0)，＝(λ－2，0，－2)．

设平面B1PQ的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，

由得

取x2＝2，则y2＝2λ，z2＝λ－2，所以n2＝(2，2λ，λ－2)．(8分)

设直线B1C与平面B1PQ所成角的大小为β，

则sin β＝|cos〈，n2〉|＝||＝||＝，

所以λ＝1或λ＝－(舍去)．

所以AQ＝1.(10分)

23. 解：(1) 当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有56个基本事件．记“恰好取到3次红球”为事件A，事件A包含基本事件有C43个．

因为上述56个基本事件发生的可能性相同，故P(A)＝＝＝.

答：当n＝3时，恰好取到3次红球的概率为.(3分)

(2) 由题意知，随机变量Y的所有可能取值为0，1，3，5，…，2n－1(n∈N*)，

则P(Y＝2i＋1)＝.

(2i＋1)P(Y＝2i＋1)＝(2i＋1)＝

＝(0≤i≤n－1，i∈N)．(5分)

所以E(Y)＝0·P(Y＝0)＋1·P(Y＝1)＋3P(Y＝3)＋5P(Y＝5)＋…＋(2n－1)P(Y＝2n－1)

＝(C42n－1＋C42n－3＋C42n－5＋…＋C4)．

令xn＝C42n－1＋C42n－3＋C42n－5＋…＋C4，

yn＝C42n－2＋C42n－4＋C42n－6＋…＋C40，

则xn＋yn＝C42n－1＋C42n－2＋C42n－3＋C42n－4＋C42n－5＋…＋C40

＝(4＋1)2n－1＝52n－1，

xn－yn＝C42n－1－C42n－2＋C42n－3－C42n－4＋C42n－5－…－C40

＝(4－1)2n－1＝32n－1，

所以xn＝.

所以E(Y)＝xn＝·＝.

答：Y的数学期望为.(10分)