高中数学人教版新课标A选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式一 不等式2.基本不等式一课一练

 www.ks5u.com第一讲  不等式和绝对值不等式

1.1  不等式

1.1.2  基本不等式

A级　基础巩固

一、选择题

1．已知a，b∈R，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是(　　)

A．a＋b≥2　　　 B.＋≥2

C.≥2   D．a2＋b2＞2ab

解析：当a，b都是负数时，A不成立；

当a，b一正一负时，B不成立；

当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．

答案：C

2．下列各式中，最小值等于2的是(　　)

A.＋   B.

C．tan θ＋   D．2x＋2－x

解析：因为2x＞0，2－x＞0，

所以2x＋2－x≥2＝2.

当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．

答案：D

3．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是(　　)

A．10   B．6

C．4   D．18

解析：3x＋3y≥2＝2＝2＝18，

当且仅当x＝y＝时，等号成立．

答案：D

4．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　)

A．6   B．9

C．12   D．15

解析：x，y为正数，(x＋y)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，选B.

答案：B

5．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.

又a，b均大于0，

所以a＋b＝(a＋b) ＝1＋1＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．

答案：C

二、填空题

6．设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．

解析：y＝3－≤3－2，

当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．

所以ymax＝3－2.

答案：3－2

7．已知函数f(x)＝2x，点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，那么f(a)·f(b)的最小值是________．

解析：点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，所以有ab＝1.

因为a＞0，b＞0，所以f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22＝4，

当且仅当a＝b＝1时，等号成立．

答案：4

8．当x＞0时，f(x)＝的值域是________．

解析：因为x＞0，所以x＋≥2，所以0＜≤.

所以0＜≤1.

又因为f(x)＝＝，

所以0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．故f(x)的值域是(0，1]．

答案：(0，1]

三、解答题

9．已知x＜0，求2x＋的最大值．

解：由x＜0，得－x＞0，

得－2x＋≥2＝2，

所以2x＋≤－2，

当且仅当－2x＝，

即x＝－时等号成立．

故2x＋取得最大值－2.

10．若a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：8abc≤(1－a)·(1－b)(1－c)．

证明：因为a＋b＋c＝1，

所以1－a＝b＋c＞0，1－b＝a＋c＞0，1－c＝a＋b＞0.

所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(a＋b)(b＋c)(a＋c)．

因为a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，a＋c≥2＞0，

三式相乘，得(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2·2·2＝8abc，

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

所以8abc≤(1－a)(1－b)(1－c)．

B级　能力提升

1．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)

A．2   B．4

C．6   D．8

解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，

则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，

所以≥2或≤－4(舍去)．

所以正实数a的最小值为4.

答案：B

2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．

解析：因为x⊗y＝，

所以x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝＝.

其中x＞0，y＞0，当且仅当x2＝2y2，即x＝y时等号成立．

答案： 

3．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；

(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

解：(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.

所以x＝3－.

当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32×＋3，

当销售x万件时，年销售收入为

150%×＋t.

由题意，生产x万件化妆品正好销完，

得年利润y＝(t≥0)．

(2)y＝＝50－≤

50－2 ＝50－2＝42，

当且仅当＝，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，

所以当促销费定在7万元时，年利润最大．