高中数学人教版新课标A选修4-1四 直角三角形的射影定理课后练习题

课时跟踪检测(四)  相似三角形的性质

一、选择题

1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，则DB等于(　　)

A．2 cm　　　　 B．6 cm  C．4 cm   D．8 cm

解析：选D　由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，

∴＝，∴＝＝.

∴DB＝4×2＝8(cm)．

2.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，AE交对角线BD于点G，且△BEG的面积是1 cm2，则▱ABCD的面积为(　　)

A．8 cm2   B．10 cm2

C．12 cm2   D．14 cm2

解析：选C　因为AD∥BC，所以△BEG ∽△DAG，

因为BE＝EC，所以＝＝.

所以＝2＝，

即S△DAG＝4S△BEG＝4(cm2)．

又因为AD∥BC，所以＝＝2，

所以＝＝2，

所以S△BAG＝2S△BEG＝2(cm2)，

所以S△ABD＝S△BAG＋S△DAG＝2＋4＝6(cm2)，

所以S▱ABCD＝2S△ABD＝2×6＝12(cm2)．

3．如图所示，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是(　　)

A．5  B．8.2  C．6.4   D．1.8

解析：选D　∵△CBF∽△CDE，

∴＝.

∴BF＝＝＝1.8.

4．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是(　　)

A．10  B．12  C．16   D．18

解析：选C　∵AB∥EF∥CD，

∴＝＝＝.

∴＝＝.

∴EF＝AB＝×20＝16.

二、填空题

5．(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD中，点E 在AB 上且EB＝2AE，AC 与DE交于点F, 则＝________.

解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，

于是＝＝＝3.

答案：3

6．如图，在△ABC中有一个矩形EFGH，其顶点E，F分别在AC，AB上，G，H在BC上，若EF＝2FG，BC＝20，△ABC的高AD＝10，则FG＝________.

解析：设FG＝x，因为EF＝2FG，所以EF＝2x.

因为EF∥BC，所以△AFE∽△ABC，

所以＝，即＝，

解得x＝5，即FG＝5.

答案：5

7．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40 cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________．

解析：因为∠BAD＝90°，AE⊥BD，

所以△ABE∽△DBA.

所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.

因为S△ABE∶S△DBA＝1∶5，

所以AB∶DB＝1∶.

设AB＝k cm，DB＝k cm，

则AD＝2k cm.

因为S矩形ABCD＝40 cm2，

所以k·2k＝40，所以k＝2(cm)．

所以BD＝k＝10 (cm)，AD＝4(cm)．

又因为S△ABD＝BD·AE＝20，

所以·10·AE＝20.

所以AE＝4(cm)．

答案：4 cm

三、解答题

8．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AB的中点，E是AC上的点，BE，CD交于点M.若AC＝3AE，求∠EMC的度数．

解：如图，作EF⊥BC于点F，

设AB＝AC＝3，

则AD＝，BC＝3，

CE＝2，EF＝FC＝.

∴BF＝BC－FC＝2.

∴EF∶BF＝∶2＝1∶2＝AD∶AC.

∴△FEB∽△ADC，∴∠2＝∠1.

∵∠EMC＝∠2＋∠MCB，

∴∠EMC＝∠1＋∠MCB＝∠ACB＝45°.

9.如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.

(1)求证：△ABF∽△CEB；

(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AB∥CD.

∴∠ABF＝∠E.

∴△ABF∽△CEB.

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD.

∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.

∵DE＝CD，

∴＝2＝，

＝2＝.

∵S△DEF＝2，

∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，

∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.

∴S▱ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.

10．如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB的高度，甲在操场上C处直立3 m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3 m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m；丙在C1处也直立3 m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6 m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E1＝4 m，求旗杆AB的高．

解：设F1F与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，

GB＝x m，GM＝y m.

因为MD∥GB，

所以∠BGF＝∠DMF，∠GBF＝∠MDF，

所以△BGF∽△DMF，

所以＝.

又因为MD＝CD－CM＝CD－EF＝1.5 (m)，

所以＝.①

又因为ND1∥GB，同理可证得△BGF1∽△D1NF1，

所以＝，

即＝.②

解方程①②组成的方程组，得

又AB＝GB＋GA＝9＋1.5＝10.5(m)，

即旗杆AB的高为10.5 m.