高中数学人教版新课标A选修1-22.2直接证明与间接证明练习

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课时提升作业 五

　综　合　法

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2016·三明高二检测)在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC一定是

　(　　)

A.直角三角形    B.锐角三角形

C.钝角三角形    D.等边三角形

【解析】选C.因为在△ABC中,sinAsinB<cosAcosB即cos(A+B)>0.即cosC<0,

所以C为钝角,即△ABC为钝角三角形.

2.(2016·济宁高二检测)命题“对任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”应用了(　　)

A.分析法      B.综合法

C.分析法与综合法   D.演绎法

【解析】选B.证明过程是由已知条件入手利用有关公式进行证明的,属于综合法,即证明过程应用了综合法.

3.(2016·德州高二检测)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为　(　　)

A.(0,2)    B.(-2,1)

C.(-1,2)    D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

【解析】选B,由题意知x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0.

解得-2<x<1.

4.(2016·东营高二检测)设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为　(　　)

A.8　　　　 B.4　　　　 C.1　　　 　D.

【解析】选B.因为是3a与3b的等比中项,

所以3a·3b=3,即a+b=1.

又a>0,b>0,

所以≤=,得ab≤.

故+==≥=4.

即+的最小值为4.

5.(2016·阜阳高二检测)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),称f(x)为“局部奇函数”,若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是　(　　)

A.1-≤m≤1+   B.1-≤m≤2

C.-2≤m≤2   D.-2≤m≤1-

【解析】选B.因为f(x)为“局部奇函数”,所以存在实数x满足f(-x)=-f(x),即

4-x-2m2-x+m2-3=-4x+2m2x-m2+3,

令t=2x(t>0),则+t2-2m+2m2-6=0,

-2m+2m2-8=0在t∈(0,+∞)上有解,

再令h=+t(h≥2),则g(h)=h2-2mh+2m2-8=0在h∈[2,+∞)上有解,函数关于h的对称轴为h=m,①当m≥2时,g(h)≥g(m),所以g(m)=m2-2m2+2m2-8≤0,解得2≤m≤2;②当m<2时,则g(2)=4-4m+2m2-8≤0,即m2-2m-2≤0,解得1-≤m<2.综合①②,可知1-≤m≤2.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.(2016·江阳高二检测)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(x).则f(9)的值为________.

【解析】因为f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即T=4.

所以f(9)=f(1)=-f(-1)=-f(1),

所以f(1)=0即f(9)=0.

答案:0

7.(2016·石家庄高二检测)若lgx+lgy=2lg(x-2y),则lo=________.

【解析】由题设条件知

即x2-5xy+4y2=0,

解得=1或=4,

因为x>2y,所以=4,

即log=lo4=4.

答案:4

8.(2016·烟台高二检测)设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1.

则++的最小值为________.

【解题指南】应用a+b+c=1代换应用基本不等式.

【解析】因为a>0,b>0,c>0且a+b+c=1

所以++=++

=3+++

≥3+2+2+2=9.

当且仅当a=b=c时等号成立.

答案:9

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知x>0,y>0,x+y=1,

求证:≥9.

【证明】因为x+y=1,

所以=

==5+2.

又因为x>0,y>0,所以>0,>0.

所以+≥2,

当且仅当=,即x=y=时取等号.

则有≥5+2×2=9成立.

【一题多解】因为x>0,y>0,1=x+y≥2,当且仅当x=y=时等号成立,

所以xy≤.

则有=1+++=1++=1+≥1+8=9成立.

10.如图,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=

60°,PA=AB=BC,点E是PC的中点.

(1)证明:CD⊥AE.

(2)证明:PD⊥平面ABE.

【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中,

因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,

所以PA⊥CD.

因为AC⊥CD,PA∩AC=A,

所以CD⊥平面PAC.

又因为AE⊂平面PAC,

所以CD⊥AE.

(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,

可得AC=PA.

因为点E是PC的中点,所以AE⊥PC.

由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,

所以AE⊥平面PCD.

又因为PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.

因为PA⊥底面ABCD,

所以平面PAD⊥平面ABCD.

又AB⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.

又因为AB∩AE=A,

所以PD⊥平面ABE.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·济南高二检测)在一个数列中,如果对任意n∈N*,都有anan+1an+2=K(K为常数),那么这个数列叫做等积数列,K叫做这个数列的公积,已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积K=8则a1+a2+a3+……+a12=　(　　)

A.24　　　   B.28　  　 C.32  　　 D.36

【解析】选B.由已知anan+1an+2=8,an+1an+2an+3=8,

两式相除得=1即an+3=an,

即此数列是一个以3为周期的数列.

由a1a2a3=8得a3=4,所以a1+a2+a3=7,

所以a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×7=28.

2.(2016·大连高二检测)在非等边三角形ABC中,∠A为钝角,则三边a,b,c满足的条件是　(　　)

A.b2+c2≥a2    B.b2+c2>a2

C.b2+c2≤a2    D.b2+c2<a2

【解题指南】应用余弦定理cosA<0.

【解析】选D.由余弦定理得cosA=.因为A为钝角,所以cosA<0,即b2+c2<a2.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·武昌高二检测)已知函数f(x)=2x,a,b∈(0,+∞).A=f, B=f,C=f则A,B,C从小到大排列为________.

【解析】因为a>0,b>0,所以≥,

所以≤1,

所以≤,

故≤≤,

又f(x)=2x为增函数,

所以f≤f()≤f,

即C≤B≤A,当且仅当a=b=c时取等号.

答案:C≤B≤A

4.(2016·郑州高二检测)若不等式(-1)na<2+对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围为________.

【解析】当n为偶数时,a<2-.

而2-≥2-=.故a<,①

当n为奇数时,a>-2-.

而-2-<-2,故a≥-2,②

由①,②得-2≤a<.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.已知a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤.

【解题指南】不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是a+b+c=1,将已知平方可得a,b,c两两乘积及a,b,c的平方和的形式,然后可用基本不等式证明.

【证明】因为a+b+c=1,

所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.

又因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,

所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

所以1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca).

所以ab+bc+ca≤.

6.(2014·山东高考)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,点E,F分别为线段AD,PC的中点.

(1)求证:AP∥平面BEF.

(2)求证:BE⊥平面PAC.

【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行,来证明线面平行.

(2)本题考查了线面垂直的判定,在平面PAC中找两条相交直线与BE垂直即可.

【证明】(1)连接AC交BE于点O,连接OF,CE,不妨设AB=BC=1,则AD=2,

因为AB=BC=AD,AD∥BC,E为AD的中点,所以四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点,

因为O,F分别为AC,PC中点,所以OF∥AP,

又因为OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,

所以AP∥平面BEF.

(2)因为AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,

所以AP⊥CD,

因为BC∥ED,BC=ED,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD,所以BE⊥PA,

又因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC,

又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,

所以BE⊥平面PAC.

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