模块综合检测(C)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)

1．方程x＝所表示的曲线是(　　)

A．双曲线的一部分               B．椭圆的一部分

C．圆的一部分                   D．直线的一部分

2．若抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为(　　)

A．x2＝－28y                     B．x2＝28y

C．y2＝－28x                     D．y2＝28x

3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)

A．2           B.          C.          D.

4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.

其中真命题的序号是(　　)

A．①②        B．②③       C．①④         D．③④

5．已知a、b为不等于0的实数，则>1是a>b的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

6．若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4，m)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆一共有(　　)

A．0个                         B．1个

C．2个                         D．4个

7．若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为(　　)

A.          B.          C.            D.

8．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为2，则此双曲线方程是(　　)

A.－＝1                     B．－＋＝1

C.－＝1                     D．－＋＝1

9．下列四个结论中正确的个数为(　　)

①命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x>1或x<－1，则x2>1”；

②已知p：∀x∈R，sin x≤1，q：若a<b，则am2<bm2，则p∧q为真命题；

③命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；

④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．

A．0个            B．1个           C．2个           D．3个

10．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c) (a≠0)在x＝1和x＝－1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是(　　)

A．(a，b)         B．(a，c)          C．(b，c)         D．(a＋b，c)

11．函数y＝的最大值为(　　)

A．e－1         B．e          C．e2              D.

12．已知命题P：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R；命题Q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数．若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≤1      B．a<2          C．1<a<2        D．a≤1或a≥2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．

14．一动圆圆心在抛物线x2＝8y上，且动圆恒与直线y＋2＝0相切，则动圆必过定点________．

15．已知F1、F2是椭圆C ＋＝1 (a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.

16．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是

________________________________________________________________________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知p：x2－12x＋20<0，q：x2－2x＋1－a2>0 (a>0)．若綈q是綈p的充分条

件，求a的取值范围．

18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f(x)＝0的一个根为2.

(1)求c的值；

(2)求证：f(1)≥2.

19.(12分) 如图，M是抛物线y2＝x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|＝|MB|.证明：直线EF的斜率为定值．

20．(12分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

21.(12分)已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．

22.（12分）如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2=－2py（p>0）

交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．   

(1)求直线l和抛物线C的方程；

(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．

模块综合检测(C)  答案

1．B　[x＝，∴x2＋4y2＝1 (x≥0)．

即x2＋＝1 (x≥0)．]

2．D

3．C　[由已知，＝1，∴a＝b，

∴c2＝2a2，∴e＝＝＝.]

4．C

5．D　[如取a＝－3，b＝－2，满足>1，但不满足a>b.反过来取a＝1，b＝－5，满足a>b，但不满足>1，故答案为D.]

6．D　[因为点M(4，m)在抛物线y2＝4x上，所以可求得m＝±4.由于圆经过焦点F且和准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上．又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知对于点M(4,4)和(4，－4)，都各有两个交点，因此一共有4个满足条件的圆．]

7．C

8．B　[由已知得椭圆中a＝5，b＝3，

∴c＝4，且它的焦点在y轴上，

故双曲线的焦点也应在y轴上且为(0,4)和(0，－4)，

又椭圆的离心率为e＝＝，

所以双曲线的离心率为2，即＝2，

又c＝4，∴它的实半轴为2，虚半轴平方为

b2＝c2－a2＝16－4＝12，

则双曲线方程为－＝1.]

9．B　[只有③中结论正确．]

10．A

11．A　[令y′＝＝＝0，x＝e，当x>e时，y′<0；当x<e时，y′>0，y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.]

12．C　[先化简P与Q，建构关于a的关系式；由函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R知：内层函数u(x)＝x2＋2x＋a恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数⇔Δ＝4－4a≥0⇔a≤1，即P⇔a≤1；同样由y＝－(5－2a)x是减函数⇔5－2a>1，即Q⇔a<2；由P或Q为真，P且Q为假知，P与Q中必有一真一假．故答案为C.]

13.

解析　f′(x)＝3x2＋2x＋m，依题意可知f(x)在R上只能单调递增，所以Δ＝4－12m≤0，∴m≥.

14．(0,2)

解析　动圆一定过抛物线x2＝8y的焦点．

15．3

解析　由已知，得，

∴|PF1|2＋|PF2|2＋36＝4a2，

又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，

∴4a2－4c2＝36，∴b＝3.

16．(－∞，－3)∪(0,3)

解析　设F(x)＝f(x)g(x)，

由已知得，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

当x<0时，F′(x)>0，

∴F(x)在(－∞，0)上为增函数．

又∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．

∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，

∴F(x)为奇函数．

∴F(x)在(0，＋∞)上也为增函数．

又g(－3)＝0，∴F(－3)＝0，F(3)＝0.

∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．

17．解　p：{x|2<x<10}，

q：{x|x<1－a，或x>1＋a}．

由綈q⇒綈p，得p⇒q，

于是1＋a<2，∴0<a<1.

18．(1)解　∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f′(0)＝0.

∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(0)＝c＝0.

∴c＝0.

(2)证明　∵f(2)＝0，∴8＋4b＋2c＋d＝0，

而c＝0，∴d＝－4(b＋2)．

∵方程f′(x)＝3x2＋2bx＝0的两个根分别为x1＝0，x2＝－b，且f(x)在[0,2]上是减函数，

∴x2＝－b≥2，∴b≤－3.

∴f(1)＝b＋d＋1＝b－4(b＋2)＋1

＝－7－3b≥－7＋9＝2.

故f(1)≥2.

19．证明　设M(y，y0)，直线ME的斜率为k (k>0)，则直线MF的斜率为－k，

直线ME的方程为y－y0＝k(x－y)．

由

得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.

于是y0·yE＝.

所以yE＝.同理可得yF＝.

∴kEF＝＝

＝＝－(定值)．

20．解　设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，

故Δ＝4a2－16<0，∴－2<a<2.

函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a>1，即a<1.

又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．

①若p真q假，则

∴1≤a<2.

②若p假q真，则

∴a≤－2.

综上可知，所求实数a的取值范围为{a|1≤a<2或a≤－2}．

21．解　由f(x)>1，得ax－ln x－1>0.

即a>在区间(1，＋∞)内恒成立．

设g(x)＝，则g′(x)＝－，

∵x>1，∴g′(x)<0.

∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减．

∴g(x)<g(1)＝1，

即<1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.

22．解　(1)由得x2＋2pkx－4p＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，

y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.

因为 ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)

＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，

所以　解得

所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.

(2)设P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，

y′＝－x，

所以－x0＝2⇒x0＝－2，y0＝－x＝－2，

所以P(－2，－2)．

此时点P到直线l的距离

d＝＝＝，

由得x2＋4x－4＝0，

|AB|＝·

＝·＝4.

∴△ABP面积的最大值为＝8.