高中人教版新课标A第三章 导数及其应用综合与测试巩固练习

第三章  章末总结

知识点一　导数与曲线的切线

利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得

y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)          ①

又y1＝f(x1)                    ②

由①②求出x1，y1的值．

即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．

例1　已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．

知识点二　导数与函数的单调性

利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：

(1)求导数f′(x)；

(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；

(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．

例2　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝＋sin x；

(2)f(x)＝x(x－a)2.

知识点三　导数与函数的极值、最值

利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．

1．应用导数求函数极值的一般步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)解方程f′(x)＝0的根；

(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．

若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；

若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；

否则，此根不是f(x)的极值点．

2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：

(1)求f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；

特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．

例3　设<a<1，函数f(x)＝x3－ax2＋b (－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b.

知识点四　导数与参数的范围

已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．

例4　已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．

例5　已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围．

章末总结  答案

重点解读

例1　解　设切点为(x0，y0)，

则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，

∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，

又切点(x0，y0)在切线上，

∴y0＝3(x－1)x0＋16，

即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，

解得x0＝－2，

∴切线方程为9x－y＋16＝0.

例2　解　(1)函数的定义域是R，

f′(x)＝＋cos x，令＋cos x>0，

解得2kπ－<x<2kπ＋ (k∈Z)，

令＋cos x<0，

解得2kπ＋<x<2kπ＋ (k∈Z)，

因此，f(x)的单调增区间是 (k∈Z)，单调减区间是

 (k∈Z)．

(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，

由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.

①当a>0时，x1<x2.

∴函数f(x)的单调递增区间为，(a，＋∞)，

单调递减区间为.

②当a<0时，x1>x2，

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，

单调递减区间为.

③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是增加的．

例3　解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0，

得x1＝0，x2＝a.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．因为f(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b.所以b＝1.

又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，

所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，

所以－a＝－，所以a＝.

例4　解　f′(x)＝2x－＝.

要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，

则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，

即≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．

∵x2>0，∴2x3－a≥0，

∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．

∴a≤(2x3)min.

∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，

∴(2x3)min＝16，∴a≤16.

当a＝16时，f′(x)＝≥0 (x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是a≤16.

例5　解　∵f(x)＝x3－x2－2x＋5，

∴f′(x)＝3x2－x－2.

令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，

∴x＝1或x＝－.

当x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数；

当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数；

当x∈(1,2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．

所以，当x＝－时，f(x)取得极大值f＝；

当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝.

又f(－1)＝，f(2)＝7，

因此，f(x)在[－1,2]上的最大值为f(2)＝7.

要使f(x)<m恒成立，需f(x)max<m，即m>7.

所以，所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．