高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.2 等差数列第1课时当堂检测题

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一、选择题
1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…那么81是它的第几项( )
A．12 B．13
C．14 D．15
[答案] C
[解析] an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.
2．若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是( )
A．公差为－1的等差数列B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列D．公差为n的等差数列
[答案] A
[解析] ∵an＝－n＋5，
∴an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，
∴{an}是公差d＝－1的等差数列．
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )
A．92B．47
C．46D．45
[答案] C
[解析] a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3得：n＝46.
4．(2013·广东东莞五中高二期中)等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第( )项( )
A．60B．61
C．62D．63
[答案] B
[解析] 设公差为d，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋4d＝33,a1＋44d＝153))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝21,d＝3)).
∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.
令201＝3n＋18，∴n＝61.
5．等差数列的首项为eq \f(1,25)，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是( )
A．d>eq \f(8,75)B．dC．eq \f(8,75)[答案] D
[解析] 由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10>1,a9≤1))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,25)＋9d>1,\f(1,25)＋8d≤1))，
∴eq \f(8,75)6．设等差数列{an}中，已知a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n是( )
A．48B．49
C．50D．51
[答案] C
[解析] a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝2a1＋5d＝eq \f(2,3)＋5d＝4，
∴d＝eq \f(2,3)，又an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)(n－1)＝33，∴n＝50.
二、填空题
7．一个直角三角形三边长a、b、c成等差数列，面积为12，则它的周长为__________．
[答案] 12eq \r(2)
[解析] 由条件知b一定不是斜边，设c为斜边，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c,\f(1,2)ab＝12,a2＋b2＝c2))，解得b＝4eq \r(2)，a＝3eq \r(2)，c＝5eq \r(2)，
∴a＋b＋c＝12eq \r(2).
8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
[答案] 3
[解析] 设首项为a1，公差为d，
由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.
三、解答题
9．已知数列{an}是等差数列，前三项分别为a,2a－1,3－a，求它的通项公式．
[解析] ∵a,2a－1,3－a是数列的前三项，
∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1)，
解得a＝eq \f(5,4)，
∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝eq \f(1,4)，
∴an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(1,4)n＋1，
∴通项公式an＝eq \f(1,4)n＋1.
10．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
[解析] 设首项为a1，公差为d，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋15－1d＝33,a1＋61－1d＝217))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－23,d＝4)) ，
∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，
∴153是所给数列的第45项.
一、选择题
1．已知a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为( )
A．eq \r(3) B．eq \r(2)
C．eq \f(1,\r(3))D．eq \f(1,\r(2))
[答案] A
[解析] 设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq \f(1,\r(3)－\r(2))＝(eq \r(3)－eq \r(2))＋(eq \r(3)＋eq \r(2))＝2eq \r(3)，∴x＝eq \r(3)，故选A．
2．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40B．42
C．43D．45
[答案] B
[解析] 设公差为d，则a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.
3．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则eq \f(d1,d2)等于( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(4,3)D．eq \f(3,4)
[答案] C
[解析] 由题意，得b＝a＋3d1＝a＋4d2，
∴d1＝eq \f(b－a,3)，d2＝eq \f(b－a,4)，
∴eq \f(d1,d2)＝eq \f(b－a,3)·eq \f(4,b－a)＝eq \f(4,3).
4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝( )
A．11B．12
C．13D．14
[答案] C
[解析] 设公差为d，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝7,a1＋d＋6＝a1＋4d))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3,d＝2)).∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13.
二、填空题
5．(2013·广东理，12)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
[答案] 20
[解析] 设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，
3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.
6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
[答案] eq \f(67,66)
[解析] 设此等差数列为{an}，公差为d，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(13,22),d＝\f(7,66))).
∴a5＝a1＋4d＝eq \f(13,22)＋4×eq \f(7,66)＝eq \f(67,66).
三、解答题
7．设{an}是等差数列，若am＝n，an＝m，(m≠n)，求am＋n.
[解析] 设公差为d，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋m－1d＝n,a1＋n－1d＝m))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝m＋n－1,d＝－1)) ，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝(m＋n－1)－(m＋n－1)＝0.
8．已知函数f(x)＝eq \f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N*)确定．
(1)求证：{eq \f(1,xn)}是等差数列；
(2)当x1＝eq \f(1,2)时，求x100.
[解析] (1)证明：xn＝f(xn－1)＝eq \f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2，n∈N*)，
∴eq \f(1,xn)＝eq \f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,xn－1).∴eq \f(1,xn)－eq \f(1,xn－1)＝eq \f(1,3)(n≥2，n∈N*)．
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))是等差数列．
(2)由(1)知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))的公差为eq \f(1,3).
又x1＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(1,xn)＝eq \f(1,x1)＋(n－1)·d＝2＋eq \f(1,3)(n－1)．
∴eq \f(1,x100)＝2＋(100－1)×eq \f(1,3)＝35.∴x100＝eq \f(1,35).