高中数学渐开线与摆线课文内容ppt课件

这是一份高中数学渐开线与摆线课文内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了离开圆周，无滑动地，一个定点运动，旋轮线，失误案例等内容，欢迎下载使用。

【自主预习】1.直线的参数方程已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为 点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参数方程分别为
y-y0=tanα(x-x0)
其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=____.
2.圆的渐开线及其参数方程(1)定义.把线绕在圆周上,假设线的粗细可以忽略,拉着线头_________,保持线与圆相切,_____的轨迹就叫做圆的渐开线,相应的_____叫做渐开线的基圆.
(2)参数方程.设基圆的半径为r,圆的渐开线的参数方程是__________________________
3.摆线及其参数方程(1)定义.当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做_______.
(2)参数方程.设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程是_____________ (φ是参数)
【即时小测】1.下列点在直线 (t为参数)上的是　(　　)A.(2,-3)B.(-2,3)C.(3,-2)D.(-3,2)【解析】选D.直线经过点(-3,2),倾斜角为α.
2.经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是________________.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是(t为参数)即为 (t为参数)答案: (t为参数)
【知识探究】探究点　直线的参数方程、渐近线与摆线1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么?提示:设e表示直线向上方向上的单位向量, 当参数t>0时, 与e同向;当参数t<0时, 与e反向;
当参数t=0时,点M0,M重合.故总有 所以参数t为点M0(x0,y0)到直线上点M(x,y)的有向线段 的数量(即长度+方向),这就是参数t的几何意义.
2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义吗?
提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 (t为参数)中的参数t就不具有明显的几何意义.
【归纳总结】由直线的参数方程中t的几何意义得出的两个结论(1)设A,B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则 (2)线段AB的中点所对应的参数值等于
类型一　直线的参数方程的形式【典例】1.化直线l1的普通方程x+ y-1=0为参数方程,并说明参数的几何意义,说明|t|的几何意义.2.化直线l2的参数方程 (t为参数)为普通方程,并求倾斜角,说明|t|的几何意义.
【解题探究】1.典例1中直线的斜率和倾斜角分别是什么?提示:直线的斜率为 倾斜角为 2.典例2中直线的参数方程是标准形式吗?提示:不是直线的参数方程的标准形式.
【解析】1.令y=0,得x=1,所以直线l1过定点(1,0). 设直线的倾斜角为α, 所以直线l1的参数方程为
t是直线l1上的定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向线段 的数量.由 ①,②两式平方相加,得(x-1)2+y2=t2. |t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向线段 的长.
2.方程组变形为 ①代入②消去参数t,得直线的点斜式方程可得 倾斜角 普通方程为
①②两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2,所以 |t|是定点M0(3,1)到t对应的点M(x,y)的有向线段 的长的一半.
【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧(1)已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α,点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的参数方程为 (t为参数)　①
参数t的几何意义是有向线段 的数量, 其中e=(csα,sinα).我们把①称为直线l的参数方程的标准形式.令a=csα,b=sinα,则直线参数方程的标准形式可以是 (t为参数,b≥0,a2+b2=1) 　②
(2)如果直线的参数方程的一般形式为 　　　　　　　　 ③可以通过转换
当d≥0时,令 当d<0时,令 就可以把直线的参数方程化为标准形式②.
【变式训练】1.(2016·成都高二检测)将曲线的参数方程 (t为参数)化为普通方程为________.
【解析】由参数方程 消去参数t,得 答案:
2.下列参数方程中,哪些是直线的参数方程的标准形式?若是,求出直线经过的起点坐标和倾斜角,若不是参数方程的标准形式,转化为标准形式(其中,t为参数).
【解析】 是直线参数方程的标准形式,其中,起点坐标为(-1,2), 倾斜角
(2) 不是直线参数方程的标准形式,令t′=-t,得到标准形式的参数方程为(t′为参数)
3.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°.(1)写出直线l的参数方程.(2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.
【解析】(1)因为直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°,故直线l的参数方程为 即
(2)方法一:由(1)得代入x-y+1=0,得 解得t=0.故 即交点坐标为(3,4).
方法二:由(1)中直线的参数方程化为普通方程为 由 解得 故两直线的交点为(3,4).
类型二　直线的参数方程的综合题【典例】(2016·合肥高二检测)已知曲线C1: (t为参数),C2: (θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.(2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.
【解题探究】(1)如何将参数方程化为普通方程?提示:消去参数即得曲线的普通方程.(2)如何求线段的长度?提示:利用直线参数方程的几何意义计算线段长度.
【解析】(1)由曲线C1: 消去参数t,得y=x+4,所以曲线C1表示一条直线.由曲线C2: 消去参数θ得(x+2)2+(y-1)2=1,所以曲线C2表示以(-2,1)为圆心,1为半径的圆.
(2)方法一:圆心C2(-2,1)到直线x-y+4=0的距离为 所以
方法二:将直线的参数方程C1: (t为参数)代入曲线C2:(x+2)2+(y-1)2=1,整理得:t2-3 t+4=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=3 ,t1t2=4,所以
【延伸探究】1.若本例条件不变,P在曲线C2上,如何求△ABP面积的最大值?
【解析】方法一:由上述得,曲线C2上的点P到直线距离的最大值为 +1,所以△ABP面积的最大值为S=
方法二:设曲线C2上的点P的坐标为(-2+csθ,1+ sinθ),点P到直线的距离为 所以△ABP面积的最大值为
2.若本例条件变为直线C1: (t为参数, α∈[0,π))与曲线C2: (θ为参数)交于A,B两点,如何求|AB|的最大值?此时直线C2的普通方程是什么?
【解析】方法一:直线C1: (t为参数,α∈ [0,π))的普通方程为y=k(x+1),其中k=tanα,α≠ ,直线经过定点(-1,0),由直线与圆C2:(x+2)2+(y-1)2=1的位置关系可知,直线经过圆心(-2,1)时,|AB|的最大值为直径,即|AB|max=2,此时直线的斜率k=-1,α= ,直线的普通方程为x+y+1=0.
方法二:将直线C1: (t为参数,α∈[0,π))的参数方程代入(x+2)2+(y-1)2=1,整理,得(1+tcsα)2+(tsinα-1)2=1,t2+2(csα-sinα)t+1=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=-2(csα-sinα),t1t2=1,所以 当α= 时,|AB|max=2,此时直线的斜率k=-1,直线的普通方程为x+y+1=0.
【方法技巧】1.利用直线的参数方程判断两直线的位置关系直线l1: 直线l2: (1)l1∥l2⇔a1b2-a2b1=0(l1与l2不重合).(2)l1⊥l2⇔a1a2+b1b2=0.
2.标准形式的参数方程中参数的应用经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2,则向量 的数量为t2-t1,所以 =|t2-t1|,若P1,P2是直线l与某圆锥曲线的两个交点,则弦长|P1P2| =|t2-t1|.
(2)若P1P2的中点为P3,且P1,P2,P3对应的参数分别为t1,t2,t3,则 特别地,若直线l上的两个点P1,P2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t2<0.
【变式训练】1.(2016·南昌高二检测)直线l (t是参数)被圆(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦长为________.
【解析】将直线l的参数方程 (t是参数)化为普通方程,得x+y+1=0,圆心(3,-1)到直线的距离 直线被圆(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦长为 答案:
2.(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的参数方程为 (θ为参数),设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
【解题指南】将参数方程化为普通方程,联立求出点A,B的坐标.
【解析】直线l方程化为普通方程为 椭圆C方程化为普通方程为 联立得 因此|AB|=
类型三　圆的渐开线与摆线【典例3】1.已知圆的渐开线方程为 (φ为参数)则该基圆半径为________.当圆心角φ=π时,曲线上点A的直角坐标为________.
2.已知一个圆的参数方程为 (θ为参数)那么圆的摆线方程中与参数 对应的点A与点 之间的距离为________.
【解题探究】1.题1中怎样求基圆半径及渐开线上一个点的坐标?提示:将渐开线的方程化为 (φ为参数)的形式,通过观察即可得出基圆半径,将参数φ值代入方程求点的坐标.
2.题2中怎样求摆线上两个点间的距离?提示:利用已知参数的值求出点的直角坐标,利用两点间的距离公式求距离.
【解析】1.圆的渐开线方程变为(φ为参数)即 则基圆的半径为 将φ=π代入上式得
得 则点A的坐标为 答案:
2.根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为 把 代入参数方程中可得 即 所以 答案:
【方法技巧】1.圆的渐开线的参数方程(1)圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)其中r:基圆半径.φ:绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角∠AOB.
(2)圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程,一是普通方程比较复杂不易理解,二是看不出曲线的坐标所满足条件的含义.
2.摆线的参数方程摆线的参数方程为 (φ为参数)其中r:生成圆的半径,φ:圆在直线上滚动时,点M绕圆心作圆周运动转过的弧度∠ABO.
3.将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标,进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.
【变式训练】1.已知圆的渐开线的参数方程为 则此渐开线对应基圆的面积为________,当φ= 时对应的曲线上的点的坐标为________.
【解析】将圆的渐开线的参数方程变为(φ为参数)则基圆的半径为3,故面积为π×32=9π.当 时, 得故 时对应点的坐标为 答案:
2.当 时,求圆的摆线 上对应的点的坐标.
【解析】将 代入 得 故 时摆线上点的坐标为(2π-4,4).
自我纠错　直线参数方程的标准形式【典例】(2016·保定高二检测)已知直线l的参数方程是 (t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ= 2sinθ+4csθ.(1)求曲线C的直角坐标方程和参数方程.(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是忽视了直线的参数方程不是标准形式,导致计算弦长错误.正确解答过程如下:
【解析】(1)曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρsinθ+4ρcsθ,由ρ2=x2+y2,x=ρcsθ, y=ρsinθ得x2+y2=2y+4x,所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=5.参数方程为 (α为参数).
(2)方法一:因为直线l的参数方程是 所以直线l的普通方程是 所以曲线C表示圆心为(2,1),半径为 的圆,圆心(2,1)到直线l的距离为 所以直线l被圆C截得的弦长为
方法二:将 代入(x-2)2+(y-1)2=5得,4t2-4 t-1=0,设直线l与曲线C的交点A,B对应的参数分别为t1,t2,则 又因为直线l的参数方程可化为
所以直线l被曲线C截得的弦长为|AB|=|2t1-2t2|=