人教版新课标A选修4-1第二讲 直线与圆的位置关系一 圆周角定理课文课件ppt

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1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.
名师点拨定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.
【做一做1】 如图,在☉O中,∠BAC=25°,则∠BOC等于(　　)A.25°　　　　　　　　B.50°C.30° D.12.5°解析:根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°.答案:B
3.圆周角定理的推论(1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.(2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
名师点拨1.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆心角等于它所对的弧”.2.“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”.3.由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同圆或等圆中同是优弧或同是劣弧,一般选劣弧.4.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系简单地说,就是圆心角相等能推出弧相等,进而能推出弦相等.
【做一做3-1】 如图,在☉O中,∠BAC=60°,则∠BDC等于(　　)A.30°B.45°C.60°D.75°解析:∠BDC=∠BAC=60°.答案:C
圆周角定理的理解剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后得到:不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行讨论,后面还会遇到这种分情况证明的定理.
(3)通过圆周角定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论问题时,常常从特殊情况入手,因为在特殊情况下问题往往容易解决.如图,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时∠AOB=2∠C很容易证明,特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图中的左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间图中的两个角的和或差,这样利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.
【例1】 如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,∠BAC的平分线与BC边和☉O分别交于点D,E.(1)指出图中相似的三角形,并说明理由;(2)若EC=4,DE=2,求AD的长.分析:(1)本题证明两个三角形相似,要用三角形相似的判定定理,而其中角的条件由同弧所对的圆周角相等得出;(2)要求线段长度,先由三角形相似得线段成比例,再求其长度.
解:(1)∵AE平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAC.又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC.∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED.(2)∵△CED∽△AEC, ∴CE2=ED·AE,∴16=2AE,∴AE=8.∴AD=AE-DE=6.反思求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
证明:∵BC是☉O的直径,∴∠BAC为直角.又∵AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD=∠ACB.∴∠BAD=∠FBA.∴△ABE为等腰三角形.∴AE=BE.
反思1.有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证明圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证明线段相等也可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆中线段相等的常见策略.2.若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题.
【变式训练2】 如图,△ABC内接于☉O,D,E在BC边上,且BD=CE,∠1=∠2.求证:AB=AC.
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=　　　　　. 错解:∵∠BAD和∠BCD所对的弦都是BD,∴∠BAD=∠BCD.∴∠BCD=75°.错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD和∠BCD所对的弧不相等,导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD.