高中数学人教版新课标A选修4-4第一章 坐标系柱坐标系与球坐标系简介测试题

这是一份高中数学人教版新课标A选修4-4第一章 坐标系柱坐标系与球坐标系简介测试题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设点M的直角坐标为(1，－eq \r(3)，2)，则它的柱坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4π,3)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,3)，2))
解析：选D ρ＝eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，tan θ＝－eq \r(3)，
又x>0，y<0，M在第四象限，
∴θ＝eq \f(5π,3)，
∴柱坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,3)，2)).
2．点P的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(π,4)，2))，则点P与原点的距离为( )
A.eq \r(17) B．2eq \r(17) C．4eq \r(17) D．8eq \r(17)
解析：选B 点P的直角坐标为(4eq \r(2)，4eq \r(2)，2)．
∴它与原点的距离为：
eq \r(4\r(2)－02＋4\r(2)－02＋2－02)＝2eq \r(17).
3．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)
答案：C
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(5π,4)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(7π,4)，1))
解析：选C (1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(5π,4)，1)).
二、填空题
5．设点Μ的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)，7))，则点Μ的直角坐标为________．
解析：x＝ρcs θ＝2cseq \f(π,6)＝eq \r(3).
y＝ρsin θ＝2sin eq \f(π,6)＝1.
∴直角坐标为(eq \r(3)，1,7)．
答案：(eq \r(3)，1,7)
6．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．
解析： ∵x＞0，y＝0，
∴tan θ＝0，θ＝0.
ρ＝eq \r(12＋02)＝1.
∴柱坐标为(1,0,5)．
答案：(1,0,5)
7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________．
答案：中心轴为z轴，底半径为2的圆柱面
三、解答题
8．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称点的柱坐标．
解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．
由变换公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，,z＝z))得
ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝eq \r(2).
tan θ＝eq \f(－1,1)＝－1，
又x＞0，y＜0，∴θ＝eq \f(7π,4).
∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(7π,4)，3)).
9．已知点M的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)，1))，求M关于原点O对称的点的柱坐标．
解：Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)，1))的直角坐标为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs\f(π,4)＝1，,y＝\r(2)sin\f(π,4)＝1，,z＝1，))
∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．
∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，
∴ρ＝eq \r(2).tan θ＝eq \f(－1,－1)＝1，
又x＜0，y＜0，
∴θ＝eq \f(5π,4).
∴其柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(5 π,4)，－1)).
∴点M关于原点O对称的点的柱坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(5π,4)，－1)).
10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．
解：以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在平面BCD上建立极坐标系．过O点与平面BCD垂直的线为z轴．
过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，
则|BA′|＝eq \f(3,2)eq \r(3)×eq \f(2,3)＝eq \r(3)，|AA′|＝eq \r(32－\r(3)2)＝eq \r(6)，
∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝eq \f(π,3)，
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,3)， \r(6)))，B(0,0,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,2)，0)).