2021广东省中考数学模拟2（含答案）

这是一份2021广东省中考数学模拟2（含答案），共26页。

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在﹣4、﹣、0、4这四个数中，最小的数是（ ）
A．4B．0C．﹣D．﹣4
2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为（ ）
A．5.2×10﹣6B．5.2×10﹣5C．52×10﹣6D．52×10﹣5
3．（3分）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6B．6.5C．7D．8
5．（3分）下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤2
7．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12B．14C．24D．21
8．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（ ）
A．75°B．90°C．105°D．115°
9．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：1﹣x2＝ ．
12．（4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD＝ 度．
13．（4分）要切一块面积为0.81m2的正方形钢板，它的边长是 m．
14．（4分）若+（3m﹣n）2＝0，则n﹣m＝ ．
15．（4分）如图，▱ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，则AC的长为 ．
16．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
17．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于点A、B，过B作x轴的垂线交x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积是 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（﹣1）2019+×sin60°﹣（﹣3）．
19．（6分）先化简，再求值：÷﹣x+1，其中x＝﹣1．
20．（6分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）中，连接BE和DF，求证：四边形DEBF是菱形．
21．（8分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
22．（8分）某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂“活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．跳舞；D．演讲；E．书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息解决下列问题：
（1）这次抽查的学生人数是多少人？
（2）将条形统计图补充完整．
（3）求扇形统计图中课程E所对应扇形的圆心角的度数．
（4）如果该校共有1200名学生，请你估计该校选择课程D的学生约有多少人．
23．（8分）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：
①AO＝AG．
②BF是⊙O的切线．
（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝ cm，∠EAD＝ °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


评卷人
得 分


评卷人
得 分


2020年04月12日王主任的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在﹣4、﹣、0、4这四个数中，最小的数是（ ）
A．4B．0C．﹣D．﹣4
【分析】根据有理数大小比较的法则求解．
【解答】解：﹣4＜﹣＜0＜4，
∴在﹣4、﹣、0、4这四个数中，最小的数是﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为（ ）
A．5.2×10﹣6B．5.2×10﹣5C．52×10﹣6D．52×10﹣5
【分析】由科学记数法可知0.000052＝5.2×10﹣5；
【解答】解：0.000052＝5.2×10﹣5；
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
3．（3分）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．
【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
4．（3分）某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x，7，8，9，已知这组数据的平均数是7，则这组数据的中位数是（ ）
A．6B．6.5C．7D．8
【分析】直接利用已知求出x的值，再利用中位数求法得出答案．
【解答】解：∵5，6，6，x，7，8，9，这组数据的平均数是7，
∴x＝7×7﹣（5+6+6+7+8+9）＝8，
∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9
则最中间为7，即这组数据的中位数是7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中位数，正确得出x的值是解题关键．
5．（3分）下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；
B、不是轴对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，故C正确；
D、不是轴对称图形，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤2
【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．
【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2
系数化为1得：x≤2．
故选：D．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
7．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．12B．14C．24D．21
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，然后代入数据进行计算即可得解
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝7，
∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（ ）
A．75°B．90°C．105°D．115°
【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，
∴∠FCA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
9．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．
【解答】解：根据题意得：△＝4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，
解得：a≤，a≠1，
则整数a的最大值为0．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点Q在AC上时，
∵∠A＝30°，AP＝x，
∴PQ＝xtan30°＝，
∴y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；
当点Q在BC上时，如下图所示：
∵AP＝x，AB＝16，∠A＝30°，
∴BP＝16﹣x，∠B＝60°，
∴PQ＝BP•tan60°＝（16﹣x）．
∴＝＝．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：1﹣x2＝ （1﹣x）（1+x） ．
【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．
【解答】解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），
故答案为：（1﹣x）（1+x）．
【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．
12．（4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD＝ 36 度．
【分析】圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴＝＝＝＝＝72°，
∴∠CAD＝×72°＝36°．
故答案为36．
【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键．
13．（4分）要切一块面积为0.81m2的正方形钢板，它的边长是 0.9 m．
【分析】根据正方形的面积公式知道正方形钢板的边长就是求0.81的算术平方根即可．
【解答】解：∵0.9的平方是0.81，
∴边长为0.9m．
故答案为：0.9．
【点评】此题主要考查了正方形的面积公式：面积等于边长的平方，同时应该知道求正方形的边长也就是求正方形面积的算术平方根．
14．（4分）若+（3m﹣n）2＝0，则n﹣m＝ 4 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得：m﹣2＝0，3m﹣n＝0，
∴m＝2，n＝6，
∴n﹣m＝6﹣2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查非负数的性质，解答本题的关键是求出m、n的值．
15．（4分）如图，▱ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，则AC的长为 6 ．
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵，▱ABCD的周长是22，
∴AD+DC＝11，
∵△ABC的周长是17，
∴AC＝17﹣11＝6，
故答案为：6
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的周长得出AD+DC的长．
16．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是 π﹣1 ．（结果保留π）
【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，
故答案为：π﹣1．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
17．（4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于点A、B，过B作x轴的垂线交x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积是 3 ．
【分析】由反比例函数、正比例函数的对称性可得，S△BOC＝S△AOC，而S△BOC＝可以 通过反比例函数的关系式求得，于是S△ABC＝2S△BOC求出结果．
【解答】解：由反比例函数、正比例函数的对称性可得，S△BOC＝S△AOC，
S△BOC＝|k|＝，
∴S△ABC＝2S△BOC＝3．
故答案为：3．
【点评】考查反比例函数的图象和性质，函数的对称性和反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）计算：（﹣1）2019+×sin60°﹣（﹣3）．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）2019+×sin60°﹣（﹣3）
＝﹣1+2×+3
＝﹣1+3+3
＝5
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
19．（6分）先化简，再求值：÷﹣x+1，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•（x+1）﹣（x﹣1）
＝﹣
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．（6分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）中，连接BE和DF，求证：四边形DEBF是菱形．
【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；
（2）利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO即可证得EO＝FO，进而利用菱形的判定方法得出结论．
【解答】（1）解：如图所示：EF即为所求；
（2）证明：如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BO＝DO，
在△DEO和三角形BFO中，
∵，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
【点评】本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．
21．（8分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
＝，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
22．（8分）某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂“活动，推出了以下四种选修课程：A．绘画；B．唱歌；C．跳舞；D．演讲；E．书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息解决下列问题：
（1）这次抽查的学生人数是多少人？
（2）将条形统计图补充完整．
（3）求扇形统计图中课程E所对应扇形的圆心角的度数．
（4）如果该校共有1200名学生，请你估计该校选择课程D的学生约有多少人．
【分析】（1）由D课程的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各课程人数之和等于总人数求出C课程的人数，从而补全图形；
（3）用360°乘以课程E人数所占比例即可得；
（4）用总人数乘以样本中课程D人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）这次抽查的学生人数是25÷25%＝100（人）；
（2）C课程人数为100﹣（10+25+25+20）＝20（人），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中课程E所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝72°；
（4）估计该校选择课程D的学生约有1200×25%＝300（人）．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．（8分）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）设P（m，﹣m2+4m），C（m，m）可得PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）由（2）可知，由AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是 ．推出点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，求出直线DP的解析式，利用方程组即可解决问题；
【解答】（1）解：把O（0，0）和点A（3，3）代入y＝ax2+4x+c得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
（2）解：0＜m＜3，PC＝PB﹣CB，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，﹣m2+4m），C（m，m）
∴PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（ ，0）时，PCmax＝，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是 ．
（3）由（2）可知，∵AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是 ．
∴点P在直线OA的下方，
过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，
∵直线OA的解析式为y＝x，
∴直线DP的解析式为y＝x﹣3，
由，解得或，
∴m的值为．
【点评】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：
①AO＝AG．
②BF是⊙O的切线．
（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．
【分析】（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝∠AGO，即可得出结论；
②先判断出△AOG是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出OB＝2BE，建立方程6+r＝2r，继而求出AG＝6，AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE是等边三角形，得出GE＝OE＝6，进而利用根据勾股定理求出CE＝3，即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：①如图1，连接OE，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴∠OEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OEB，
∴AC∥OE，
∴∠GOE＝∠AGO，
∵，
∴∠AOG＝∠GOE，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AO＝AG；
②由①知，AO＝AG，
∵AO＝OG，
∴∠AO＝OG＝AG，
∴△AOG是等边三角形，
∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，
∴∠BOF＝∠AOG＝60°，
由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FOB＝∠EOB，
∵OF＝OE，OB＝OB，
∴△OFB≌△OEB（SAS），
∴∠OFB＝∠OEB＝90°，
∴OF⊥BF，
∵OF是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接GE，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∴OB＝2BE，
设⊙O的半径为r，
∵OB＝OD+BD，
∴6+r＝2r，
∴r＝6，
∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，
∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，
由（1）知，∠EOB＝60°，
∵OG＝OE，
∴△OGE是等边三角形，
∴GE＝OE＝6，
根据勾股定理得，CE＝＝＝3，
∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×﹣＝．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出⊙O的半径是解本题的关键．
25．（10分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．
（1）AE＝ 3 cm，∠EAD＝ 45 °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ＝cm时，直接写出x的值．
【分析】（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；
（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，
∴AE＝＝3cm，∠BAE＝∠BEA＝45°
∵∠BAD＝90°
∴∠DAE＝45°
故答案为：3，45
（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵AP＝x，∠DAE＝45°，PF⊥AD
∴PF＝x＝AF，
∴y＝S△PQA＝×AQ×PF＝x2，
（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4
∴DF＝4﹣x，
∴y＝x2+（2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x2+8x﹣8
当3＜x≤时，如图，点P与点E重合．
∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm
∴y＝（1+4）×3﹣（7﹣2x）×1＝x+4
（3）当0＜x≤2时
∵QF＝AF＝x，PF⊥AD
∴PQ＝AP
∵PQ＝cm
∴x＝
∴x＝
当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD
∴四边形MPFD是矩形
∴PM＝DF＝4﹣x，MD＝PF＝x，
∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x
∵MP2+MQ2＝PQ2，
∴（4﹣x）2+（4﹣x）2＝
∴x＝4±＞3（不合题意舍去）
当3＜x≤时，
∵PQ2＝CP2+CQ2，
∴＝1+（7﹣2x）2，
∴x＝
综上所述：x＝或
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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日期：2020/4/14 9:44:09；用户：王主任；邮箱：mzcjsx@xyh.cm；学号：30533809