华师大版19.3 正方形优秀同步训练题

19.3正方形课时训练

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，四边形是矩形，四边形是边长为3的正方形，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在边上，点、在双曲线上，且，则值为（    ）．

A．15 B． C． D．17

2．如图，边长为的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（  ）

A．0.5 B． C．1 D．

3．如图，在长方形中，，垂足为，交于点，连接，且平分．下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

4．如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（    ）

A．； B．； C．； D．．

6．如图，直线上有三个正方形，若的边长分别为1和3，则的面积为（  ）

A．8 B．9 C．10 D．11

7．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，，，，小敏行走的路线为，小聪行走的路线为．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（    ）

A．3100m B．4600m C．5500m D．6100m

8．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（    ）

A．6 B．12 C．15 D．30

9．如图，正方形的对角线相交于点，正方形与的边长均为，与相交于点，与相交于点，且满足，则两个正方形重合部分的面积为（ ）

A． B． C． D．

10．如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积可表示为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝5，CG＝3，则CE的长为_____．

12．如图，正方形ABCD的边长为8，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是_____．

13．如图，直线过正方形的顶点，点、到直线的距离分别为、，则正方形的边长为_______．

14．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠到折痕上，折痕为，点在上的对应点为，则______°．

15．如图，正方形中，，点、是正方形内的两点，且，，则的平方为________．

16．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的图形就用了这种分割方法若，正方形ODCE的边长为1，则BD等于___________．

三、解答题

17．在正方形中，点、分别在边和上，且满足是等边三角形,连接交于点．

（1）求证：；

（2）若等边边长为，求的长．

18．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N分别为OB，OD的中点，连接AM并延长至点E，使，连接CE，CN．

（1）求证：；

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形MECN是矩形？请说明理由；

（3）连接AN，EN．当满足什么条件时，四边形MECN是正方形？请说明理由．

19．已知：如图，在梯形中，，，，，垂足为点，且是的中点，联结，交边于点．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）如果，求证：四边形是正方形．

20．如图，已知在梯形中，，是下底上一动点（点与点不重合），，，，，设，四边形的面积为．

（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求四边形的面积．

参考答案

1．C

2．D

3．C

4．C

5．D

6．C

7．B

8．C

9．B

10．A

11．

12．4

13．

14．75．

15．2

16．

17．（1）见解析   （2）

【详解】

（1）证明：正方形，

∴，=90°，．

是等边三角形，

．

．

．

．

（2）由（1）得，CE=CF，AE=AF=2，

垂直平分．

．

，

∵∠ECF=90°，EG=GF，

∴，

．

18．（1）见解析；（2）AC=2AB，理由见解析；（3）当AN=EN且∠ENA=90°时，四边形MECN是正方形．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABM=∠CDN，
∵点M，N分别为OB，OD的中点，

∴

∴BM=DN，
在△ABM和△CDN中，

∴△ABM≌△CDN．

（2）当AC=2AB时，四边形MECN是矩形，

理由如下：∵△ABM≌△CDN，

∴AM=CN，∠AMB=∠CND，

∴∠AMN=∠CNM，

∴AM∥CN，

∵，

∴，

∴四边形EMNC是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC=2OA，

∵AC=2AB，
∴AB=OA，
∵M是OB的中点，
∴AM⊥OB，
∴∠NMA=90°，
∴∠NME=90°，

∴平行四边形MECN是矩形．

（3）当AN=EN且∠ENA=90°时，四边形MECN是正方形；

理由如下：连接AN、EN

∵△ABM≌△CDN，

∴AM=CN，∠AMB=∠CND，

∴∠AMN=∠CNM，

∴AM∥CN，

∵，

∴，

∴四边形EMNC是平行四边形，

∵，∠ENA=90°

∴MN=EM，

∴平行四边形EMNC是菱形，

∵AN=EN，AM=EM
∴∠NME=90°，

∴四边形EMNC是正方形．

19．（1）见解析；（2）见解析

【详解】

解：（1）如图，连接AC和BE，

∵，是的中点，

∴，

由等腰三角形“三线合一”的性质得，

∵∥，，

∴，

∴，

∴∥，

∵，

∴ 四边形是平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∵∥，

∴四边形是平行四边形；

（2）∵四边形是平行四边形，

∴∥，，

∵∥，，

∴∥，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴四边形是菱形，

∴，

由，即得，

∴，

∴，

∴四边形是正方形．

20．（1）；（2）四边形的面积为88或96或48．

【详解】

解：（1）作于．设．

由题意：，

整理得：，

解得或6（舍弃），

，即

（2）①当时，，

，

，

，即，

．

②当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，

或，即或22，

或48，

综上所述，四边形的面积为88或96或48．