初中数学3 线段的垂直平分线评优课课件ppt
展开例:证明结论:三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知:在△ABC中,设AB、BC的垂直平分线交于点O.求证:O点在AC的垂直平分线上.
证明:连接AO,BO,CO. ∵点O在线段AB的垂直平分线上, ∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线 段两个端点的距离相等). 同理OB=OC.∴OA=OC. ∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上). ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).
这是一个证明三条直线交于一点的证明根据。
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?如果能,能作几个?所作出的三角形都全等吗?
已知:三角形的一条边a和这边上的高h求作:△ABC,使BC=a,BC边上的高为h
这样的三角形有无数多个.观察还可以发现这些三角形不都全等.
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
这样的等腰三角形应该只有两个,并且它们是全等的,分别位于已知底边的两侧. 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
例2已知底边及底边上的高,求作等腰三角形.已知:线段a、h求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h作法:1.作BC=a; 2.作线段BC的垂直平分线MN交BC 于D点; 3.以D为圆心,h长为半径作弧交MN于A点; 4.连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形
解:如图,连接AD.∵AB的垂直平分线交AB于点E,∴AD=BD.设BD=x,则AD=x,CD=4-x.在Rt△ACD中,∵AC=3,CD=4-x,AD=x,∴AC2+CD2=AD2,即32+(4-x)2=x2,
1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,求BD的长.
解得x= ,即BD=
2.如图,已知AB比AC长3 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是15 cm,求AB和AC的长.
3.在△ABC中,∠BAC=140°,BC=12,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,求∠EAF的度数和△AEF的周长.
解:∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,∴AE=BE,AF=CF,∴△AEF的周长=AE+AF+EF=BE+EF+CF=BC=12.∵△ABC中,∠BAC=140°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=40°.∵AE=BE,AF=CF,∴∠BAE=∠B,∠CAF=∠C,∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=40°,∴∠EAF=∠BAC-(∠BAE+∠CAF)=100°.
1.已知:如图,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证: ∠CAF= ∠B.
证明:∵ EF垂直平分AD(已知)
∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理)
∴∠1+ ∠2= ∠4(等边对等角)
又∵∠4=∠B+∠3(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∵ AD平分∠BAC(已知) ∴∠ 2=∠3(角平分线的定义)
∴∠1+ ∠2=∠B+∠3
2. 如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P,PD⊥AB于点D.(1)过点P作PE⊥AC于点E,求证:BD=CE;(2)若AB=6 cm,AC=10 cm,求AD的长.
解:(1)∵PQ是BC边的垂直平分线,∴PB=PC,∵AP平分∠DAC,PD⊥AB,PE⊥AC,∴∠DAP=∠EAP,∠PDA=∠PEA=90°,AP=AP,∴△PAD≌△PAE(AAS),∴PD=PE,在Rt△BPD和Rt△CPE中,PD=PE,PB=PC,∴Rt△BPD≌Rt△CPE(HL),∴BD=CE(2)由(1)知△PAD≌△PAE,∴AD=AE,∴AD+6=10-AD,解得AD=2 cm
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