北师大版八年级下册第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线课时作业

这是一份北师大版八年级下册第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线课时作业，共8页。

一．选择题（共5小题，每题8分）
1．有一块三角形草坪，要在草坪上建一座凉亭，使凉亭到三个顶点的距离相等，则凉亭的选址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝9cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
4．如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于12AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交BC于点D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边的中点，分别以B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连结BE，AB＝5cm，△AEB的周长为18cm，则△ABC的周长是（ ）cm．
A．36 B．23 C．18 D．30
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是____________
7．如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为__．
8．如图，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为___________________．
9．如图,在△ABC 中,点 D 是边 AB、BC 边的垂直平分线交点,连接 AD 并延长交 BC 于点 E,若∠AEC=3∠BAE= 3，则∠CAE=_____ (用含的式子表示)

第7题图 第8题图 第9题图
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，直线AO，BO交于点O，过点P作PC⊥AO于点C，PD⊥BO于点D，画出图形．
11．下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵AM＝ ，MP＝ ，
∴AP是线段MN的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）
∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC=30°，CD平分∠ACB．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l;（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）记直线l与AB，CD的交点分别是点E，F．当AC=4时，求EF的长
试题解析
2．C
【解析】首先连接AM，AN，由AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，可得AM＝BM，AN＝CN，又由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，易证得△AMN是等边三角形，继而可得BM＝MN＝CN，即可求得答案．
解：连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，
∴AM＝BM，AN＝CN，
∴∠BAM＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，
∴BM＝MN＝CN，
∵BC＝9cm，
∴MN＝3cm．
故选C．
3．A
【解析】根据题意，知猎狗应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．
故选：A．
4．C
【解析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA=DB，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求出∠CDA的度数，然后利用AD=AC得到∠C的度数．
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=25°，
∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠CDA=50°．
故选C．
5．D
【解析】由作图步骤知PD是BC的中垂线，据此得BE=CE，根据AB+AE+BE=18cm且AB=5cm知AC=13cm，利用勾股定理求得BC的长可得答案．
解：由作图步骤知PD是BC的中垂线，
∴BE=CE，
∵△ABE的周长为18cm，即AB+AE+BE=18cm且AB=5cm，
∴AE+BE=13cm，
∴AE+CE=13cm，即AC=13cm，
∵∠ABC=90°，
∴BC=AC2-AB2=132-52=12
∴△ABC的周长为5+12+13=30（cm），
故选：D．
6．直角三角形
【解析】根据垂直平分线的作图方法,根据题意,画出图形,用线段垂直平分线的性质解答．
解：如图,CA、CB的中点分别为D,E,CA,CB的垂直平分线OD,OE相交于点O,且点O落在AB边上,连接CO,
∵OD是AC的垂直平分线
∴OC=OA,
同理OC=OB,
∴OA=OB=OC,
∴A、B、C都落在以O为圆心,以AB为直径的圆周上,
∴∠C是直角,故答案为：直角三角形．
7．18
【解析】如图作AH⊥BC于H,连接AD，由EG垂直平分线段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
解：∵EG垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
∵12•BC•AH=120
∴AH=12
∵AB=AC,AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴AF=AH2+HF2=122+52=13
∴DF+DC的最小值为13
∴△CDF的周长最短=13+5=18.
故答案为：18.
8．(－2，－1)
【解析】利用三角形三边的垂直平分线交点到三个顶点的距离相等和点到直线距离的公式就可做出答案.
解：设p点坐标为(a，b)，则有a2+(b-3)2=(a-2)2+(b-1)2 ，
a2+(b-3)2=(a-2)2+(b+3)2
解得:a= -2，b=-1,
所以P点的坐标为(-2，-1).
故答案为：(-2，-1)
9．90°-2a
【解析】连接BD，CD．首先证明∠DAB=∠DBA=∠DBC=∠DCB=α，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
解：连接BD，CD．
由题意：DA=DB=DC，
∴∠DAB=∠DBA，∠DBC=∠DCB，∠DAC=∠DCA，
∵∠AEC=3∠BAE=3α，∠AEC=∠BAE+∠ABE，
∴∠ABE=2α，
∴∠DAB=∠DBA=∠DBC=∠DCB=α，
∴∠EAC=12（180°-4α）=90°-2α．
故答案为90°-2α．
10．见解析.
【解析】分别作∠ACP＝90°，∠PDB＝90°即可
解：作∠ACP＝90°，作∠PDB＝90°，则直线PC，PD即为所求．
11．(1)作图见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）通过作图得到AM=AN，MP=NP，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AP是线段MN的垂直平分线，从而得到AD⊥BC．
解：（1）补全的图形如图所示；
（2）∵AM=AN，MP=NP，∴AP是线段MN的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
∴AD⊥BC于D，即线段AD为△ABC的边BC上的高．
故答案为：AN，NP，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
12．（1）见解析（2）4
【解析】（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）连接EC．在Rt△ABC中，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AB=8．再由垂直平分线的性质得到AE=4，即可证明△AEC是等边三角形，从而得到CE的长，再证明∠EFC=∠ECF，根据等角对等边即可得出结论．
解：（1）如图所示，直线l是所求作的线段AB的垂直平分线．
（2）连接EC．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AC=12AB，∠A=60°，
∴AB=8．
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=12AB=4，∠AEF=90°，
∴AE=AC，
∴△AEC是等边三形，
∴∠AEC=∠ACE=60°，EC=AC=4，
∴∠FEC=∠AEF+∠AEC=150°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF=12∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ECA-∠FCA=15°，
∴∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=15°=∠ECF，
∴EF=EC=4．