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初中数学苏科七下期中测试卷（2）
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这是一份初中数学苏科版七年级下册本册综合精品巩固练习，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
期中测试卷（2）
一、选择题
1．如图，下列四组角中是同位角的是（ ）
A．∠1与∠7 B．∠3与∠5 C．∠4 与∠5 D．∠2与∠6
2．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠5 C．∠1=∠3 D．∠4=∠6
3．已知：如图AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β﹣∠γ=90° D．∠β+∠γ﹣∠α=90°
4．中国2010年上海世博会吉祥物的名字叫“海宝”，意即“四海之宝”．下面哪一个可由图通过平移得（ ）
A． B． C． D．
5．下图中共有（ ）个三角形．
A．4 B．7 C．8 D．9
6．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．4cm、3cm、8cm C．3cm、3cm、6cm D．5cm、4cm、3cm
7．如图，△ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是△ABC（ ）
A．BC边上的高 B．AB边上的高 C．AC边上的高 D．以上都不对
8．对于一个三角形的三条中线的位置，下列说法正确的是（ ）
A．都在三角形内B．都在三角形外C．有的可能在三角形内，有的也可能在三角形外D．有的可能与三角形的某一边重合
9．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（ ）
A．①、②都正确 B．①、②都不正确C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确
10．如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高，且∠B=25°，∠C=55°，则∠DAE的度数是（ ）
A．15° B．35° C．65° D．75°
11．正六边形的每一个外角都是（ ）
A．720° B．360° C．120° D．60°
12．计算a2•a3+2a5的结果为（ ）
A．a5 B．3a5 C．a10 D．3a10
13．计算（﹣2a2b）3的结果是（ ）
A．﹣6a6b3 B．﹣8a6b3 C．8a6b3 D．﹣8a5b3
14．下列4个算式中，计算错误的有（ ）
(1)（﹣c）4÷（﹣c）2=﹣c2
(2)（﹣y）6÷（﹣y）3=﹣y3
(3)z3÷z0=z3
(4)a4m÷am=a4．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．某种冠状病毒的直径是1.2×10﹣7米，1米=109纳米，则这种冠状病毒的直径为（ ）
A．1.2纳米 B．12纳米 C．120纳米 D．1200纳米
二、填空题
16．如图，已知直线l与a，b相交，请添加一个条件 ，使a∥b（填一个你认为正确的条件即可）
17．如图，直线l1∥l2，被直线l所截，已知∠2比∠1大80°，且∠1的三倍比∠2大20°，那么∠1的度数为 ．
18．在△ABC中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B= ．
19．计算（3.4×10﹣10）×（2×107）= （结果用科学记数法表示）
20．我国在2012年开始试点使用“PM2.5”标准来检测空气质量，是指大气中直径大于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人的呼吸系统会造成极大的危害．你知道吗？2.5微米=0.0000025米，用科学记数法表示
为 米．
三、解答题
21．如图所示，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，求∠2的度数．
22．如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠DAE．
23．如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1．
(1)画出三角形A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
(2)请直接写出三角形ABC的面积．
24．四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的内（或外）角平分线分别为AE和CF．
(1)当AE，CF都为内角平分线时，不难证明AE∥CF．过程如下：（如图1）
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠D）．而∠B=∠D=90°．∠1=∠2，3=∠4，
∴2（∠2+∠4）=360°﹣180°=180°
则∠2+∠4=90°
又∵∠B=90°∴，2+∠5=90°，则∠4=∠5．∴AE∥CF．
(2)当AE，CF时都为角平分线时（如图2），AE与CF位置关系怎样？给出证明．
(3)当AE是内角平分线，CF是外角平分线时（如图3），请你探索AE与CF的位置关系，并给出证明．
25．已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2．BE与CF平行吗？请说明理由．
26．如图，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E．
(1)请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由．
(2)求∠3的度数．
27．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数．
答案
1．如图，下列四组角中是同位角的是（ ）
A．∠1与∠7 B．∠3与∠5 C．∠4 与∠5 D．∠2与∠6
【考点】J6：同位角、内错角、同旁内角．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠1与∠7不是同位角，故A错误；
B、∠3与∠5是内错角，故B错误；
C、∠4与∠5是同旁内角，故C错误；
D、∠2与∠6是同位角，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠5 C．∠1=∠3 D．∠4=∠6
【考点】J9：平行线的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∠1=∠2不能判定AB∥CD，故本选项正确；
B、∠2=∠5能判定AB∥CD，故本选项错误；
C、∠1=∠3能判定AB∥CD，故本选项错误；
D、∠4=∠6能判定AB∥CD，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键．
3．已知：如图AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β﹣∠γ=90° D．∠β+∠γ﹣∠α=90°
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【解答】解：
如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠α=∠BCM，∠MCD=∠NDC，∠NDE=∠γ，
∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ，
又BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠α+∠β=90°+∠γ，
即∠α+∠β﹣∠γ=90°，
故选C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
4．中国2010年上海世博会吉祥物的名字叫“海宝”，意即“四海之宝”．下面哪一个可由图通过平移得（ ）
A． B． C． D．
【考点】Q2：平移的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平移的性质，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【解答】解：A、B、C吉祥物“海宝”的形状都发生了变化，因此不是平移，只有D符合要求，是平移．
故选D．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．
5．下图中共有（ ）个三角形．
A．4 B．7 C．8 D．9
【考点】K1：三角形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的定义，三角形有：△ACD，△ABF，△DBE，△FCE，△EBC，△DBC，△FBC，△ABC共8个．
【解答】解：∵图中三角形有：△ACD，△ABF，△DBE，△FCE，△EBC，△DBC，△FBC，△ABC，
∴共8个．
故选C．
【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．
6．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．4cm、3cm、8cm C．3cm、3cm、6cm D．5cm、4cm、3cm
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、1+2=3，不能组成三角形；
B、4+3＜8，不能够组成三角形；
C、3+3=6，不能组成三角形；
D、4+3＞5，能组成三角形．
故选D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7．如图，△ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是△ABC（ ）
A．BC边上的高 B．AB边上的高 C．AC边上的高 D．以上都不对
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】三角形的高线是过它的一个顶点的垂直于对边的直线，或这条直线上从顶点到与对边交点之间的线段．
【解答】解：CD是△BCD中BC边上的高，而不是△ABC的高．
故选D．
【点评】本题主要考查三角形的高线的定义．
8．对于一个三角形的三条中线的位置，下列说法正确的是（ ）
A．都在三角形内B．都在三角形外C．有的可能在三角形内，有的也可能在三角形外D．有的可能与三角形的某一边重合
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的中线的定义解答．
【解答】解：三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线，所以，一定都在三角形内．
纵观各选项，只有A选项正确．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
9．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（ ）
A．①、②都正确 B．①、②都不正确C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．
【解答】解：AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选C．
【点评】考查了三角形的角平分线和中线的概念．
10．如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高，且∠B=25°，∠C=55°，则∠DAE的度数是（ ）
A．15° B．35° C．65° D．75°
【考点】K7：三角形内角和定理；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE=∠DAC﹣∠EAC，即可得出．
【解答】解：∵△ABC中，∠B=25°，∠C=55°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣25°﹣55°=100°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC=50°，
∵AE是BC边上的高，
在直角△AEC中，
∵∠EAC=90°﹣∠C=90°﹣55°=35°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=50°﹣35°=15°．
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．
11．正六边形的每一个外角都是（ ）
A．720° B．360° C．120° D．60°
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】用正六边形的外角和等于360度，求出外角的度数即可．
【解答】解：∵六边形的外角和为360度，
∴每个外角的度数为360°÷6=60°，
故选：D．
【点评】本题看错了多边形的外角和，熟记多边形的外角和为360°是解决本题的关键．
12．计算a2•a3+2a5的结果为（ ）
A．a5 B．3a5 C．a10 D．3a10
【考点】46：同底数幂的乘法；35：合并同类项．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据同底数幂的乘法，可得a2•a3，根据整式加法，可得a2•a3+2a5的结果．
【解答】解：a2•a3+2a5=a5+2a5=3a5，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，先计算同底数幂的乘法，再合并同类项．
13．计算（﹣2a2b）3的结果是（ ）
A．﹣6a6b3 B．﹣8a6b3 C．8a6b3 D．﹣8a5b3
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：（﹣2a2b）3=﹣8a6b3．
故选B．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
14．下列4个算式中，计算错误的有（ ）
(1)（﹣c）4÷（﹣c）2=﹣c2
(2)（﹣y）6÷（﹣y）3=﹣y3
(3)z3÷z0=z3
(4)a4m÷am=a4．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据同底数幂的乘法及除法法则进行逐一计算即可．
【解答】解：(1)错误，应为（﹣c）4÷（﹣c）2=（﹣c）4﹣2=c2；
(2)正确，（﹣y）6÷（﹣y）3=（﹣y）3=﹣y3；
(3)正确，z3÷z0=z3﹣0=z3；
(4)错误，应为a4m÷am=a4m﹣m=a3m．
所以(1)(4)两项错误．
故选C．
【点评】本题考查：(1)同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；(2)同底数的幂相除，底数不变，指数相减．
15．某种冠状病毒的直径是1.2×10﹣7米，1米=109纳米，则这种冠状病毒的直径为（ ）
A．1.2纳米 B．12纳米 C．120纳米 D．1200纳米
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数；1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】利用1.2×10﹣7乘以109，然后利用同底数幂先相乘，进而可得答案．
【解答】解：1.2×10﹣7×109=120，
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法表示较小的数，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
16．如图，已知直线l与a，b相交，请添加一个条件 ，使a∥b（填一个你认为正确的条件即可）
【考点】J9：平行线的判定．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由已知根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，∠2和∠3是内错角，若相等，则a∥b．
【解答】解：∵∠2=∠3（内错角）
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠2=∠3．
【点评】此题考查了学生对平行线的判定的理解与掌握．关键是找出内错角或同位角，使它们相等．
17．如图，直线l1∥l2，被直线l所截，已知∠2比∠1大80°，且∠1的三倍比∠2大20°，那么∠1的度数为 ．
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】设∠1的度数为x°，则∠2的度数为（x+80）°，由直线l1∥l2，可知∠1+∠2=180°，由此得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设∠1的度数为x°，则∠2的度数为（x+80）°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠2=180°，即x+x+80=180，
解得x=50，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质以及解一元一次方程，解题的关键是根据平行线的性质得出关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
18．在△ABC中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B= ．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】利用三角形内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C=70°，∠A=50°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣70°﹣50°=60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并准确列式计算是解题的关键．
19．计算（3.4×10﹣10）×（2×107）= （结果用科学记数法表示）
【考点】46：同底数幂的乘法．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】首先利用乘法的交换律与结合律，求得：（3.4×10﹣10）×（2×107）=（3.4×2）×（10﹣10×107），然后根据同底数幂的乘法的性质求解即可求得答案．
【解答】解：（3.4×10﹣10）×（2×107）=（3.4×2）×（10﹣10×107）=6.8×10﹣3．
故答案为：6.8×10﹣3．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法的性质．注意同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
20．我国在2012年开始试点使用“PM2.5”标准来检测空气质量，是指大气中直径大于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人的呼吸系统会造成极大的危害．你知道吗？2.5微米=0.0000025米，用科学记数法表示
为 米．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6，
故答案为：2.5×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
21．如图所示，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，求∠2的度数．
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】由AC丄AB，∠1=60°，易求得∠B的度数，又由直线a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：∵AC丄AB，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=60°，
∴∠B=180°﹣∠1﹣∠BAC=30°，
∵a∥b，
∴∠2=∠B=30°．
【点评】此题考查了平行线的性质与垂直的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠DAE．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，再根据角平分线的定义可得∠DAE=∠CAE．
【解答】解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB=40°，
∴∠CAE=90°﹣∠ACB=90°﹣40°=50°，
∴∠DAE=∠CAE=×50°=25°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，熟记定理与概念并准确识图是解题的关键．
23．如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1．
(1)画出三角形A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
(2)请直接写出三角形ABC的面积．
【考点】Q4：作图﹣平移变换．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式进行计算即可得解．
【解答】解：(1)如图所示，A1B1C1即为所求作的三角形，
点A1（﹣1，2），B1（﹣3，﹣5），C1（5，0）；
(2)S△ABC=8×7﹣×2×7﹣×8×5﹣×2×6
=56﹣7﹣20﹣6
=56﹣33
=23．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，(2)中利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积的求解方法是常用的方法，一定要熟练掌握．
24．四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的内（或外）角平分线分别为AE和CF．
(1)当AE，CF都为内角平分线时，不难证明AE∥CF．过程如下：（如图1）
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠D）．而∠B=∠D=90°．∠1=∠2，3=∠4，
∴2（∠2+∠4）=360°﹣180°=180°
则∠2+∠4=90°
又∵∠B=90°∴，2+∠5=90°，则∠4=∠5．∴AE∥CF．
(2)当AE，CF时都为角平分线时（如图2），AE与CF位置关系怎样？给出证明．
(3)当AE是内角平分线，CF是外角平分线时（如图3），请你探索AE与CF的位置关系，并给出证明．
【考点】J9：平行线的判定；J3：垂线．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(2)作DP∥AE，如图2，根据四边形内角和为360°得∠BAD+∠BCD=180°，则根据邻补角的定义得到∠GAD+∠BCH=180°，再根据角平分线先定义得∠1=∠GAD，∠4=∠BCH，所以∠1+∠4=90°，由PD∥AE得到∠1=∠2，而∠2+∠3=90°，则∠1+∠3=90°，理由等量代换得∠3=∠4，所以PD∥CF，于是得到AE∥CF；
(3)如图3，根据四边形内角和为360°得∠BAD+∠BCD=180°，则∠BAD=∠BCE，再由AE，CF时都为角平分线得∠1=∠BAD，∠2=∠BCE，则∠1=∠2，根据三角形内角和定理得∠5=∠B=90°，则AE⊥CF．
【解答】解：(2)AE∥CF．理由如下：
作DP∥AE，如图2，
∵四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠GAD+∠BCH=180°，
∵AE，CF时都为角平分线，
∴∠1=∠GAD，∠4=∠BCH，
∴∠1+∠4=90°，
∵PD∥AE，
∴∠1=∠2，
而∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴PD∥CF，
∴AE∥CF；
(3)AE⊥CF．理由如下：
如图3，
∵四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCE，
∵AE，CF时都为角平分线，
∴∠1=∠BAD，∠2=∠BCE，
∴∠1=∠2，
而∠3=∠4，
∴∠5=∠B=90°，
∴AE⊥CF．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行．也考查了四边形的内角和和垂线．
25．已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2．BE与CF平行吗？请说明理由．
【考点】J9：平行线的判定．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据垂直定义可得∠ABC=∠BCD=90°，再根据等角的余角相等可得∠EBC=∠FCB，再根据内错角相等两直线平行可得EB∥CF．
【解答】解：BE∥CF，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠FCB，
∴EB∥CF．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等两直线平行．
26．如图，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E．
(1)请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由．
(2)求∠3的度数．
【考点】K7：三角形内角和定理；JB：平行线的判定与性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据三角形的内角和定理列出方程求出∠2=64°，再根据内错角相等，两直线平行解答；
(2)根据角平分线的定义可得∠DCE=∠ACD，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：(1)BF∥CD．
理由如下：∵∠B=42°，∠1=∠2+10°，
∴∠1+∠2+∠B=∠2+10°+∠2+42°=180°，
解得∠2=64°，
又∵∠ACD=64°，
∴∠ACD=∠2，
∴BF∥CD；
(2)∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD=32°，
∵BF∥CD，
∴∠3=180°﹣32°=148°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，是基础题，熟记定理并列出方程求出∠2的度数是解题的关键．
27．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=5x，再根据三角形的内角和是180°列出关于x的方程，求出x的值，即可得出各角的度数．
【解答】解：∵在△ABC中∠A：∠B：∠C=2：3：5，
∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即2x+3x+5x=180°，解得x=18°，
∴∠A=2×18°=36°，∠B=3×18°=54°，∠C=5×18°=90°．
答：∠A、∠B、∠C的度数分别为：36°，54°，90°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．
期中测试卷（2）
一、选择题
1．如图，下列四组角中是同位角的是（ ）
A．∠1与∠7 B．∠3与∠5 C．∠4 与∠5 D．∠2与∠6
2．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠5 C．∠1=∠3 D．∠4=∠6
3．已知：如图AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β﹣∠γ=90° D．∠β+∠γ﹣∠α=90°
4．中国2010年上海世博会吉祥物的名字叫“海宝”，意即“四海之宝”．下面哪一个可由图通过平移得（ ）
A． B． C． D．
5．下图中共有（ ）个三角形．
A．4 B．7 C．8 D．9
6．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．4cm、3cm、8cm C．3cm、3cm、6cm D．5cm、4cm、3cm
7．如图，△ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是△ABC（ ）
A．BC边上的高 B．AB边上的高 C．AC边上的高 D．以上都不对
8．对于一个三角形的三条中线的位置，下列说法正确的是（ ）
A．都在三角形内B．都在三角形外C．有的可能在三角形内，有的也可能在三角形外D．有的可能与三角形的某一边重合
9．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（ ）
A．①、②都正确 B．①、②都不正确C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确
10．如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高，且∠B=25°，∠C=55°，则∠DAE的度数是（ ）
A．15° B．35° C．65° D．75°
11．正六边形的每一个外角都是（ ）
A．720° B．360° C．120° D．60°
12．计算a2•a3+2a5的结果为（ ）
A．a5 B．3a5 C．a10 D．3a10
13．计算（﹣2a2b）3的结果是（ ）
A．﹣6a6b3 B．﹣8a6b3 C．8a6b3 D．﹣8a5b3
14．下列4个算式中，计算错误的有（ ）
(1)（﹣c）4÷（﹣c）2=﹣c2
(2)（﹣y）6÷（﹣y）3=﹣y3
(3)z3÷z0=z3
(4)a4m÷am=a4．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
15．某种冠状病毒的直径是1.2×10﹣7米，1米=109纳米，则这种冠状病毒的直径为（ ）
A．1.2纳米 B．12纳米 C．120纳米 D．1200纳米
二、填空题
16．如图，已知直线l与a，b相交，请添加一个条件 ，使a∥b（填一个你认为正确的条件即可）
17．如图，直线l1∥l2，被直线l所截，已知∠2比∠1大80°，且∠1的三倍比∠2大20°，那么∠1的度数为 ．
18．在△ABC中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B= ．
19．计算（3.4×10﹣10）×（2×107）= （结果用科学记数法表示）
20．我国在2012年开始试点使用“PM2.5”标准来检测空气质量，是指大气中直径大于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人的呼吸系统会造成极大的危害．你知道吗？2.5微米=0.0000025米，用科学记数法表示
为 米．
三、解答题
21．如图所示，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，求∠2的度数．
22．如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠DAE．
23．如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1．
(1)画出三角形A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
(2)请直接写出三角形ABC的面积．
24．四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的内（或外）角平分线分别为AE和CF．
(1)当AE，CF都为内角平分线时，不难证明AE∥CF．过程如下：（如图1）
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠D）．而∠B=∠D=90°．∠1=∠2，3=∠4，
∴2（∠2+∠4）=360°﹣180°=180°
则∠2+∠4=90°
又∵∠B=90°∴，2+∠5=90°，则∠4=∠5．∴AE∥CF．
(2)当AE，CF时都为角平分线时（如图2），AE与CF位置关系怎样？给出证明．
(3)当AE是内角平分线，CF是外角平分线时（如图3），请你探索AE与CF的位置关系，并给出证明．
25．已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2．BE与CF平行吗？请说明理由．
26．如图，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E．
(1)请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由．
(2)求∠3的度数．
27．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数．
答案
1．如图，下列四组角中是同位角的是（ ）
A．∠1与∠7 B．∠3与∠5 C．∠4 与∠5 D．∠2与∠6
【考点】J6：同位角、内错角、同旁内角．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠1与∠7不是同位角，故A错误；
B、∠3与∠5是内错角，故B错误；
C、∠4与∠5是同旁内角，故C错误；
D、∠2与∠6是同位角，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠5 C．∠1=∠3 D．∠4=∠6
【考点】J9：平行线的判定．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∠1=∠2不能判定AB∥CD，故本选项正确；
B、∠2=∠5能判定AB∥CD，故本选项错误；
C、∠1=∠3能判定AB∥CD，故本选项错误；
D、∠4=∠6能判定AB∥CD，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键．
3．已知：如图AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β﹣∠γ=90° D．∠β+∠γ﹣∠α=90°
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【解答】解：
如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠α=∠BCM，∠MCD=∠NDC，∠NDE=∠γ，
∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ，
又BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠α+∠β=90°+∠γ，
即∠α+∠β﹣∠γ=90°，
故选C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
4．中国2010年上海世博会吉祥物的名字叫“海宝”，意即“四海之宝”．下面哪一个可由图通过平移得（ ）
A． B． C． D．
【考点】Q2：平移的性质．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据平移的性质，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【解答】解：A、B、C吉祥物“海宝”的形状都发生了变化，因此不是平移，只有D符合要求，是平移．
故选D．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．
5．下图中共有（ ）个三角形．
A．4 B．7 C．8 D．9
【考点】K1：三角形．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的定义，三角形有：△ACD，△ABF，△DBE，△FCE，△EBC，△DBC，△FBC，△ABC共8个．
【解答】解：∵图中三角形有：△ACD，△ABF，△DBE，△FCE，△EBC，△DBC，△FBC，△ABC，
∴共8个．
故选C．
【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．
6．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm B．4cm、3cm、8cm C．3cm、3cm、6cm D．5cm、4cm、3cm
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、1+2=3，不能组成三角形；
B、4+3＜8，不能够组成三角形；
C、3+3=6，不能组成三角形；
D、4+3＞5，能组成三角形．
故选D．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7．如图，△ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是△ABC（ ）
A．BC边上的高 B．AB边上的高 C．AC边上的高 D．以上都不对
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】三角形的高线是过它的一个顶点的垂直于对边的直线，或这条直线上从顶点到与对边交点之间的线段．
【解答】解：CD是△BCD中BC边上的高，而不是△ABC的高．
故选D．
【点评】本题主要考查三角形的高线的定义．
8．对于一个三角形的三条中线的位置，下列说法正确的是（ ）
A．都在三角形内B．都在三角形外C．有的可能在三角形内，有的也可能在三角形外D．有的可能与三角形的某一边重合
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的中线的定义解答．
【解答】解：三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线，所以，一定都在三角形内．
纵观各选项，只有A选项正确．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
9．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（ ）
A．①、②都正确 B．①、②都不正确C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．
【解答】解：AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选C．
【点评】考查了三角形的角平分线和中线的概念．
10．如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高，且∠B=25°，∠C=55°，则∠DAE的度数是（ ）
A．15° B．35° C．65° D．75°
【考点】K7：三角形内角和定理；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE=∠DAC﹣∠EAC，即可得出．
【解答】解：∵△ABC中，∠B=25°，∠C=55°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣25°﹣55°=100°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC=50°，
∵AE是BC边上的高，
在直角△AEC中，
∵∠EAC=90°﹣∠C=90°﹣55°=35°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=50°﹣35°=15°．
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．
11．正六边形的每一个外角都是（ ）
A．720° B．360° C．120° D．60°
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】用正六边形的外角和等于360度，求出外角的度数即可．
【解答】解：∵六边形的外角和为360度，
∴每个外角的度数为360°÷6=60°，
故选：D．
【点评】本题看错了多边形的外角和，熟记多边形的外角和为360°是解决本题的关键．
12．计算a2•a3+2a5的结果为（ ）
A．a5 B．3a5 C．a10 D．3a10
【考点】46：同底数幂的乘法；35：合并同类项．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据同底数幂的乘法，可得a2•a3，根据整式加法，可得a2•a3+2a5的结果．
【解答】解：a2•a3+2a5=a5+2a5=3a5，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，先计算同底数幂的乘法，再合并同类项．
13．计算（﹣2a2b）3的结果是（ ）
A．﹣6a6b3 B．﹣8a6b3 C．8a6b3 D．﹣8a5b3
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：（﹣2a2b）3=﹣8a6b3．
故选B．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
14．下列4个算式中，计算错误的有（ ）
(1)（﹣c）4÷（﹣c）2=﹣c2
(2)（﹣y）6÷（﹣y）3=﹣y3
(3)z3÷z0=z3
(4)a4m÷am=a4．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】根据同底数幂的乘法及除法法则进行逐一计算即可．
【解答】解：(1)错误，应为（﹣c）4÷（﹣c）2=（﹣c）4﹣2=c2；
(2)正确，（﹣y）6÷（﹣y）3=（﹣y）3=﹣y3；
(3)正确，z3÷z0=z3﹣0=z3；
(4)错误，应为a4m÷am=a4m﹣m=a3m．
所以(1)(4)两项错误．
故选C．
【点评】本题考查：(1)同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；(2)同底数的幂相除，底数不变，指数相减．
15．某种冠状病毒的直径是1.2×10﹣7米，1米=109纳米，则这种冠状病毒的直径为（ ）
A．1.2纳米 B．12纳米 C．120纳米 D．1200纳米
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数；1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】选择题
【难度】易
【分析】利用1.2×10﹣7乘以109，然后利用同底数幂先相乘，进而可得答案．
【解答】解：1.2×10﹣7×109=120，
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法表示较小的数，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
16．如图，已知直线l与a，b相交，请添加一个条件 ，使a∥b（填一个你认为正确的条件即可）
【考点】J9：平行线的判定．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】由已知根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，∠2和∠3是内错角，若相等，则a∥b．
【解答】解：∵∠2=∠3（内错角）
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠2=∠3．
【点评】此题考查了学生对平行线的判定的理解与掌握．关键是找出内错角或同位角，使它们相等．
17．如图，直线l1∥l2，被直线l所截，已知∠2比∠1大80°，且∠1的三倍比∠2大20°，那么∠1的度数为 ．
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】设∠1的度数为x°，则∠2的度数为（x+80）°，由直线l1∥l2，可知∠1+∠2=180°，由此得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设∠1的度数为x°，则∠2的度数为（x+80）°，
∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠2=180°，即x+x+80=180，
解得x=50，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质以及解一元一次方程，解题的关键是根据平行线的性质得出关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
18．在△ABC中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B= ．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】利用三角形内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C=70°，∠A=50°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣70°﹣50°=60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并准确列式计算是解题的关键．
19．计算（3.4×10﹣10）×（2×107）= （结果用科学记数法表示）
【考点】46：同底数幂的乘法．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】首先利用乘法的交换律与结合律，求得：（3.4×10﹣10）×（2×107）=（3.4×2）×（10﹣10×107），然后根据同底数幂的乘法的性质求解即可求得答案．
【解答】解：（3.4×10﹣10）×（2×107）=（3.4×2）×（10﹣10×107）=6.8×10﹣3．
故答案为：6.8×10﹣3．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法的性质．注意同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
20．我国在2012年开始试点使用“PM2.5”标准来检测空气质量，是指大气中直径大于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人的呼吸系统会造成极大的危害．你知道吗？2.5微米=0.0000025米，用科学记数法表示
为 米．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【专题】填空题
【难度】中
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6，
故答案为：2.5×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
21．如图所示，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1=60°，求∠2的度数．
【考点】JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】由AC丄AB，∠1=60°，易求得∠B的度数，又由直线a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【解答】解：∵AC丄AB，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=60°，
∴∠B=180°﹣∠1﹣∠BAC=30°，
∵a∥b，
∴∠2=∠B=30°．
【点评】此题考查了平行线的性质与垂直的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠DAE．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，再根据角平分线的定义可得∠DAE=∠CAE．
【解答】解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB=40°，
∴∠CAE=90°﹣∠ACB=90°﹣40°=50°，
∴∠DAE=∠CAE=×50°=25°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，熟记定理与概念并准确识图是解题的关键．
23．如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1．
(1)画出三角形A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．
(2)请直接写出三角形ABC的面积．
【考点】Q4：作图﹣平移变换．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式进行计算即可得解．
【解答】解：(1)如图所示，A1B1C1即为所求作的三角形，
点A1（﹣1，2），B1（﹣3，﹣5），C1（5，0）；
(2)S△ABC=8×7﹣×2×7﹣×8×5﹣×2×6
=56﹣7﹣20﹣6
=56﹣33
=23．
【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，(2)中利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积的求解方法是常用的方法，一定要熟练掌握．
24．四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的内（或外）角平分线分别为AE和CF．
(1)当AE，CF都为内角平分线时，不难证明AE∥CF．过程如下：（如图1）
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠D）．而∠B=∠D=90°．∠1=∠2，3=∠4，
∴2（∠2+∠4）=360°﹣180°=180°
则∠2+∠4=90°
又∵∠B=90°∴，2+∠5=90°，则∠4=∠5．∴AE∥CF．
(2)当AE，CF时都为角平分线时（如图2），AE与CF位置关系怎样？给出证明．
(3)当AE是内角平分线，CF是外角平分线时（如图3），请你探索AE与CF的位置关系，并给出证明．
【考点】J9：平行线的判定；J3：垂线．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(2)作DP∥AE，如图2，根据四边形内角和为360°得∠BAD+∠BCD=180°，则根据邻补角的定义得到∠GAD+∠BCH=180°，再根据角平分线先定义得∠1=∠GAD，∠4=∠BCH，所以∠1+∠4=90°，由PD∥AE得到∠1=∠2，而∠2+∠3=90°，则∠1+∠3=90°，理由等量代换得∠3=∠4，所以PD∥CF，于是得到AE∥CF；
(3)如图3，根据四边形内角和为360°得∠BAD+∠BCD=180°，则∠BAD=∠BCE，再由AE，CF时都为角平分线得∠1=∠BAD，∠2=∠BCE，则∠1=∠2，根据三角形内角和定理得∠5=∠B=90°，则AE⊥CF．
【解答】解：(2)AE∥CF．理由如下：
作DP∥AE，如图2，
∵四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠GAD+∠BCH=180°，
∵AE，CF时都为角平分线，
∴∠1=∠GAD，∠4=∠BCH，
∴∠1+∠4=90°，
∵PD∥AE，
∴∠1=∠2，
而∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴PD∥CF，
∴AE∥CF；
(3)AE⊥CF．理由如下：
如图3，
∵四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCE，
∵AE，CF时都为角平分线，
∴∠1=∠BAD，∠2=∠BCE，
∴∠1=∠2，
而∠3=∠4，
∴∠5=∠B=90°，
∴AE⊥CF．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行．也考查了四边形的内角和和垂线．
25．已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2．BE与CF平行吗？请说明理由．
【考点】J9：平行线的判定．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】根据垂直定义可得∠ABC=∠BCD=90°，再根据等角的余角相等可得∠EBC=∠FCB，再根据内错角相等两直线平行可得EB∥CF．
【解答】解：BE∥CF，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠FCB，
∴EB∥CF．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等两直线平行．
26．如图，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E．
(1)请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由．
(2)求∠3的度数．
【考点】K7：三角形内角和定理；JB：平行线的判定与性质．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】(1)根据三角形的内角和定理列出方程求出∠2=64°，再根据内错角相等，两直线平行解答；
(2)根据角平分线的定义可得∠DCE=∠ACD，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：(1)BF∥CD．
理由如下：∵∠B=42°，∠1=∠2+10°，
∴∠1+∠2+∠B=∠2+10°+∠2+42°=180°，
解得∠2=64°，
又∵∠ACD=64°，
∴∠ACD=∠2，
∴BF∥CD；
(2)∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD=32°，
∵BF∥CD，
∴∠3=180°﹣32°=148°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，是基础题，熟记定理并列出方程求出∠2的度数是解题的关键．
27．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【专题】解答题
【难度】难
【分析】设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=5x，再根据三角形的内角和是180°列出关于x的方程，求出x的值，即可得出各角的度数．
【解答】解：∵在△ABC中∠A：∠B：∠C=2：3：5，
∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即2x+3x+5x=180°，解得x=18°，
∴∠A=2×18°=36°，∠B=3×18°=54°，∠C=5×18°=90°．
答：∠A、∠B、∠C的度数分别为：36°，54°，90°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．
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