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人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用试讲课ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用试讲课ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了2三个推论，探究一，探究二，探究三，思维辨析，随堂演练等内容，欢迎下载使用。
一、平面1.思考(1)与点和直线类似,平面也是由现实事物抽象得到的.如课桌面、黑板面、平静的水面等,都给我们以平面的印象,请举出更多这样的例子,并说明平面的含义是什么?提示平整的地面、天花板等.几何中的平面是无限延展的、非常平、没有边界.(2)平面有厚薄与大小吗?提示平面没有厚薄,没有大小.(3)我们一般用线段来表示一条直线,那么通常用什么图形表示平面?提示一般用平行四边形表示平面,也可以用三角形、圆等其他平面图形.
二、点、直线、平面之间的关系1.思考(1)平面α是由点组成的,直线l也是由点组成的,从集合的观点看,点P与直线l有何关系?点P与平面α有何关系?直线l与平面α呢?提示P∈l或P∉l.P∈α或P∉α.l⊂α或l⊄α.(2)若A∈a,a⊂α,能否推出A∈α?提示由直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
3.做一做如图,点A 平面ABC;点A 平面BCD;BD 平面ABD;平面ABC∩平面BCD= . 答案:∈ ∉ ⊂ BC
三、平面的基本性质1.思考(1)过给定的两个点能作几个平面?过三个点能作几个平面?提示过两个点能作无数个平面.过三点时,如果三点在同一条直线上,能作无数个平面;如果三点不在同一条直线上,能作一个且只能作一个平面.(2)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”?提示这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”.否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现.
(3)如果把一根直尺边缘上任意两点放在桌面上,直尺的整个边缘是否都落在桌面上?你能从中得到什么结论?提示整个边缘都落在桌面上.说明一条直线上如果有两点在一个平面内,这么直线就在这个平面内.(4)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗?提示不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点.(5)如果两个平面有无数个公共点,这些公共点有什么特点?提示这些公共点落在同一条直线上.
2.填空(1)平面的基本性质
3.做一做空间任意四点最多可以确定平面的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案:D解析:空间任意四点最多可以确定平面的个数是4,例如空间任意四点为三棱锥A-BCD的顶点时,可以确定平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD.
证明点、线共面例1证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.分析先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面α与l2,l3确定的平面β重合.
证法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1,l2,l3在同一平面内.证法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
反思感悟 证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,常用方法有:(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.
延伸探究 (1)把【例1】中的“不过同一点”删掉呢?这三条直线是否共面?(2)把【例1】中“三条直线”改为“四条直线”呢?这四条直线是否共面?试证明你的结论.解:(1)①不一定共面.若三条直线两两相交,且过同一个点.这三条直线在同一个平面内相交,如图.
这三条直线不共面.如图.②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由【例1】可知,这三条直线共面.
(2)共面.已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.求证:a,b,c,d四线共面.证明:①无三线共点情况,如图.设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面.
②有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a,因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为β.因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.所以NK⊂β,即b⊂β.同理,c⊂β,d⊂β.所以a,b,c,d共面.由①②知,a,b,c,d共面.
证明点共线例2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.分析证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线.也可以证明点Q既在平面APR内,也在平面α内,即点Q在平面APR与平面α的交线PR上.
证法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线.证法二∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
反思感悟 点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.
变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为 .(填“共线”或“不共线”) 答案:共线
解析:如图所示,连接A1B,BD1,CD1.∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,∴E∈BD1,∴B,E,D1三点共线.
证明线共点例3如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.分析由a,b都在平面γ内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点在以c为交线的两个平面α,β内.
证明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a⊂γ,b⊂γ.∵直线a和b不平行,∴a,b必相交.如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.∵a⊂β,b⊂α,∴P∈β,P∈α.又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P.∴a,b,c三条直线必过同一点.反思感悟 证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.
变式训练2如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
证明:延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,∴EH,FG共面,且与FG不平行.∵O∈EH,EH⊂平面ABD,∴O∈平面ABD,∵O∈FG,FG⊂平面BCD,∴O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.
转化思想在文字语言、图形语言与符号语言中的应用典例(1)用符号语言表示下列语句,并画出图形.①三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;②平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.(2)用文字语言和符号语言表示下图.【审题视角】 (1)根据条件,先适当确定其中的某一个平面,再根据点、线、面的位置关系,将其附着于固定平面上,注意图形的立体感,要将被遮挡部分用虚线表示.(2)用文字语言、符号语言表示一个图形时,应仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何.
解:(1)①符号语言.α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;图形表示如图所示.②符号语言.平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;图形表示如图所示.(2)文字语言.平面α内的直线m和n相交于点A;符号语言.m⊂α,n⊂α,且m∩n=A.
方法点睛 用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形,有几个平面且位置关系如何,有几条直线且位置关系如何,图中的直线和平面的位置关系如何,有几点且在哪条直线或哪个平面上等,试着用文字语言表示,然后用符号语言表示.根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
变式训练下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是( )答案:D解析:选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.
1.经过空间任意三点作平面( )A.只有一个B.可作两个C.可作无数多个D.只有一个或有无数多个答案:D解析:当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个.故选D.2.下列图形中,不一定是平面图形的是( )A.三角形B.平行四边形C.梯形D.四边相等的四边形答案:D解析:利用基本事实1可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形.故选D.
3.下列说法正确的是( )A.镜面是一个平面B.一个平面长10 m,宽5 mC.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D.所有的平面都是无限延展的答案:D解析:镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D.4.已知平面α∩平面β=l,点P∈α,P∈β,则点P与直线l的关系是 . 答案:P∈l
一、平面1.思考(1)与点和直线类似,平面也是由现实事物抽象得到的.如课桌面、黑板面、平静的水面等,都给我们以平面的印象,请举出更多这样的例子,并说明平面的含义是什么?提示平整的地面、天花板等.几何中的平面是无限延展的、非常平、没有边界.(2)平面有厚薄与大小吗?提示平面没有厚薄,没有大小.(3)我们一般用线段来表示一条直线,那么通常用什么图形表示平面?提示一般用平行四边形表示平面,也可以用三角形、圆等其他平面图形.
二、点、直线、平面之间的关系1.思考(1)平面α是由点组成的,直线l也是由点组成的,从集合的观点看,点P与直线l有何关系?点P与平面α有何关系?直线l与平面α呢?提示P∈l或P∉l.P∈α或P∉α.l⊂α或l⊄α.(2)若A∈a,a⊂α,能否推出A∈α?提示由直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
3.做一做如图,点A 平面ABC;点A 平面BCD;BD 平面ABD;平面ABC∩平面BCD= . 答案:∈ ∉ ⊂ BC
三、平面的基本性质1.思考(1)过给定的两个点能作几个平面?过三个点能作几个平面?提示过两个点能作无数个平面.过三点时,如果三点在同一条直线上,能作无数个平面;如果三点不在同一条直线上,能作一个且只能作一个平面.(2)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”?提示这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”.否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现.
(3)如果把一根直尺边缘上任意两点放在桌面上,直尺的整个边缘是否都落在桌面上?你能从中得到什么结论?提示整个边缘都落在桌面上.说明一条直线上如果有两点在一个平面内,这么直线就在这个平面内.(4)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗?提示不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点.(5)如果两个平面有无数个公共点,这些公共点有什么特点?提示这些公共点落在同一条直线上.
2.填空(1)平面的基本性质
3.做一做空间任意四点最多可以确定平面的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案:D解析:空间任意四点最多可以确定平面的个数是4,例如空间任意四点为三棱锥A-BCD的顶点时,可以确定平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD.
证明点、线共面例1证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.分析先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面α与l2,l3确定的平面β重合.
证法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.∴直线l1,l2,l3在同一平面内.证法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
反思感悟 证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,常用方法有:(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.
延伸探究 (1)把【例1】中的“不过同一点”删掉呢?这三条直线是否共面?(2)把【例1】中“三条直线”改为“四条直线”呢?这四条直线是否共面?试证明你的结论.解:(1)①不一定共面.若三条直线两两相交,且过同一个点.这三条直线在同一个平面内相交,如图.
这三条直线不共面.如图.②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由【例1】可知,这三条直线共面.
(2)共面.已知:a,b,c,d四条直线两两相交,且不共点.求证:a,b,c,d四线共面.证明:①无三线共点情况,如图.设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α,所以NQ⊂α,即b⊂α.同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面.
②有三线共点的情况,如图.设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M且K∉a,因为K∉a,所以K和a确定一个平面,设为β.因为N∈a,a⊂β,所以N∈β.所以NK⊂β,即b⊂β.同理,c⊂β,d⊂β.所以a,b,c,d共面.由①②知,a,b,c,d共面.
证明点共线例2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.分析证明P,Q,R三点既在平面ABC内,也在平面α内,即得P,Q,R共线.也可以证明点Q既在平面APR内,也在平面α内,即点Q在平面APR与平面α的交线PR上.
证法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线.证法二∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
反思感悟 点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上.
变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为 .(填“共线”或“不共线”) 答案:共线
解析:如图所示,连接A1B,BD1,CD1.∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,∴E∈BD1,∴B,E,D1三点共线.
证明线共点例3如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.分析由a,b都在平面γ内且不平行,得a,b相交,再证明交点在c上,即证明交点在以c为交线的两个平面α,β内.
证明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a⊂γ,b⊂γ.∵直线a和b不平行,∴a,b必相交.如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.∵a⊂β,b⊂α,∴P∈β,P∈α.又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P.∴a,b,c三条直线必过同一点.反思感悟 证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.
变式训练2如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
证明:延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,∴EH,FG共面,且与FG不平行.∵O∈EH,EH⊂平面ABD,∴O∈平面ABD,∵O∈FG,FG⊂平面BCD,∴O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O.
转化思想在文字语言、图形语言与符号语言中的应用典例(1)用符号语言表示下列语句,并画出图形.①三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;②平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.(2)用文字语言和符号语言表示下图.【审题视角】 (1)根据条件,先适当确定其中的某一个平面,再根据点、线、面的位置关系,将其附着于固定平面上,注意图形的立体感,要将被遮挡部分用虚线表示.(2)用文字语言、符号语言表示一个图形时,应仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何.
解:(1)①符号语言.α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;图形表示如图所示.②符号语言.平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;图形表示如图所示.(2)文字语言.平面α内的直线m和n相交于点A;符号语言.m⊂α,n⊂α,且m∩n=A.
方法点睛 用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形,有几个平面且位置关系如何,有几条直线且位置关系如何,图中的直线和平面的位置关系如何,有几点且在哪条直线或哪个平面上等,试着用文字语言表示,然后用符号语言表示.根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
变式训练下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是( )答案:D解析:选项A错误,理由是两平面的交线没画出,且被遮挡的部分未用虚线画出;选项B,C都错误,理由是被遮挡的部分未用虚线画出.D正确.
1.经过空间任意三点作平面( )A.只有一个B.可作两个C.可作无数多个D.只有一个或有无数多个答案:D解析:当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个.故选D.2.下列图形中,不一定是平面图形的是( )A.三角形B.平行四边形C.梯形D.四边相等的四边形答案:D解析:利用基本事实1可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形.故选D.
3.下列说法正确的是( )A.镜面是一个平面B.一个平面长10 m,宽5 mC.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D.所有的平面都是无限延展的答案:D解析:镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D.4.已知平面α∩平面β=l,点P∈α,P∈β,则点P与直线l的关系是 . 答案:P∈l
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