人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试同步测试题

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方法1 回归定义


直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可．





1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.





(1)求AB的长；


(2)求sinA，csA，tanA，sinB，csB，tanB的值．


解：(1)AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝13.


(2)sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13)，csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13)，tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(5,12)，


sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13)，csB＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13)，tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(12,5).








2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)，求sinB的值．





解：∵AD＝BC＝5，cs∠ADC＝eq \f(3,5)，


∴CD＝3.


在Rt△ACD中，


∵AD＝5，CD＝3，


∴AC＝eq \r(AD2－CD2)＝eq \r(52－32)＝4.


在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，


∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(42＋52)＝eq \r(41).


∴sinB＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,\r(41))＝eq \f(4\r(41),41).





方法2 巧设参数


若已知两边的比值，或一个三角函数值，而不能直接求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数公式计算它们的比值，即可得出三角函数值．





3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(4,5)，则tanB＝(C)


A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)


C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)


4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(D)





A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)


C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(\r(6),3)


5．如图，正方形ABCD中，点E为BC中点，点F在CD边上，且CF＝eq \f(1,4)CD，求∠EAF的正、余弦值．





解：设正方形的边长为4a，则BE＝EC＝2a，CF＝a，AE＝2eq \r(5)a，EF＝eq \r(5)a，AF＝5a.


∴AE2＋EF2＝AF2.


∴△AEF是直角三角形，sin∠EAF＝eq \f(EF,AF)＝eq \f(\r(5)a,5a)＝eq \f(\r(5),5)，


cs∠EAF＝eq \f(AE,AF)＝eq \f(2\r(5)a,5a)＝eq \f(2\r(5),5).








方法3 等角转换


若要求的角的三角函数值不容易求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直接求转化后的角的三角函数值．





6．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(B)


A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),4)





7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.已知AC＝eq \r(5)，BC＝2，那么sin∠ACD＝(A)


A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2)





8．如图所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的三个三角函数值．





解：∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，


∴∠DEB＝∠ACB.


又∵∠B＝∠B，


∴△ACB∽△DEB.


∴∠BDE＝∠A.


∴sin∠BDE＝sinA＝eq \f(3,5)，cs∠BDE＝csA＝eq \f(4,5)，


tan∠BDE＝tanA＝eq \f(3,4).











方法4 构造直角三角形


若要求三角函数值的角不在直角三角形中，则需要我们根据已知条件构造直角三角形解决．





9．(安顺中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(D)


A．2 B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(1,2)





10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，3)和点B(7，0)，则sin∠ABO的值等于eq \f(3,5)．





11．(连云港中考)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝eq \f(1,8).





(1)求BC的长；


(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7，eq \r(5)≈2.2)


解：(1)过点A作AD⊥BC的延长线于点D，


∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.


∴AD＝eq \f(1,2)AC＝2，


CD＝AC·cs30°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).


在Rt△ABD中，∵tanB＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(1,8)，


∴eq \f(2,2\r(3)＋BC)＝eq \f(1,8).


∴BC＝16－2eq \r(3).


(2)在CB上截取CE＝CA＝4，连接AE，


则∠CEA＝∠CAE＝eq \f(1,2)∠ACD＝15°，


∴tan15°＝eq \f(AD,DE)＝eq \f(2,4＋2\r(3))＝eq \f(1,2＋\r(3))＝2－eq \r(3)≈0.3.