2020年浙江省金华市中考数学试卷

这是一份2020年浙江省金华市中考数学试卷，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年浙江省金华市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数3的相反数是　　
A． B．3 C． D．
2．（3分）分式的值是零，则的值为　　
A．2 B．5 C． D．
3．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是　　

A． B． C． D．
6．（3分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到．理由是　　

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
7．（3分）已知点，，，在函数的图象上，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
8．（3分）如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是　　

A． B． C． D．
9．（3分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是　　

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点在第二象限内，则的值可以是（写出一个即可）　　．
12．（4分）数据1，2，4，5，3的中位数是　　．
13．（4分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　　．

14．（4分）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是　　．

15．（4分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点，，均为正六边形的顶点，与地面所成的锐角为．则的值是　　．

16．（4分）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点与点重合），点是夹子转轴位置，于点，于点，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点转动．
（1）当，两点的距离最大时，以点，，，为顶点的四边形的周长是　　．
（2）当夹子的开口最大（即点与点重合）时，，两点的距离为　　．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式：．
19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别
项目
　人数（人
　
跳绳
59
　
健身操
▲
　
俯卧撑
31
　
开合跳
▲
　
其它
22
（1）求参与问卷调查的学生总人数．
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．

20．（8分）如图，的半径，于点，．
（1）求弦的长．
（2）求的长．

21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低，气温和高度（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求关于的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为，求该山峰的高度．

22．（10分）如图，在中，，，．
（1）求边上的高线长．
（2）点为线段的中点，点在边上，连结，沿将折叠得到．
①如图2，当点落在上时，求的度数．
②如图3，连结，当时，求的长．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．
（1）当时，求的值．
（2）当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．
（3）作直线与轴相交于点．当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．


2020年浙江省金华市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）实数3的相反数是　　
A． B．3 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：实数3的相反数是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）分式的值是零，则的值为　　
A．2 B．5 C． D．
【分析】利用分式值为零的条件可得，且，再解即可．
【解答】解：由题意得：，且，
解得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．（3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．
【解答】解：、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
、能运用平方差公式分解，故此选项正确；
、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选：．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
4．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是　　

A． B． C． D．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【解答】解：共有6张卡片，其中写有1号的有3张，
从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是；
故选：．
【点评】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到．理由是　　

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【解答】解：由题意，，
（垂直于同一条直线的两条直线平行），
故选：．
【点评】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（3分）已知点，，，在函数的图象上，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【解答】解：，
函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】如图，连接，．求出的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，．

是的内切圆，，是切点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是　　

A． B．
C． D．
【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．
【解答】解：设“□”内数字为，根据题意可得：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键．
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　

A． B． C． D．
【分析】证明，得出．设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案．
【解答】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点在第二象限内，则的值可以是（写出一个即可）　（答案不唯一）．　．
【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：点在第二象限内，
，
则的值可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出的取值范围是解题关键．
12．（4分）数据1，2，4，5，3的中位数是　3　．
【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．
【解答】解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5，
则这组数据的中位数是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数．
13．（4分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　20　．

【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积．
【解答】解：该几何体的主视图是一个长为5，宽为4的矩形，所以该几何体主视图的面积为．
故答案为：20．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
14．（4分）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是　30　．

【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，

，
，
故答案为：30．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
15．（4分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点，，均为正六边形的顶点，与地面所成的锐角为．则的值是　　．

【分析】如图，作，过点作于，设正六边形的边长为，则正六边形的半径为，边心距．求出，即可解决问题．
【解答】解：如图，作，过点作于，设正六边形的边长为，则正六边形的半径为，边心距．

观察图象可知：，，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．（4分）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点与点重合），点是夹子转轴位置，于点，于点，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点转动．
（1）当，两点的距离最大时，以点，，，为顶点的四边形的周长是　16　．
（2）当夹子的开口最大（即点与点重合）时，，两点的距离为　　．

【分析】（1）当，两点的距离最大时，，，共线，此时四边形是矩形，求出矩形的长和宽即可解决问题．
（2）如图3中，连接交于．想办法求出，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：（1）当，两点的距离最大时，，，共线，此时四边形是矩形，
，
，
，
此时四边形的周长为，
故答案为16．

（2）如图3中，连接交于．

由题意，
，
垂直平分线段，
，
，
，

，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）计算：．
【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．
【解答】解：原式．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质．
18．（6分）解不等式：．
【分析】去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得即可．
【解答】解：，

，
，
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
19．（6分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别
项目
　人数（人
　
跳绳
59
　
健身操
▲
　
俯卧撑
31
　
开合跳
▲
　
其它
22
（1）求参与问卷调查的学生总人数．
（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？
（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．

【分析】（1）从统计图表中可得，“组 其它”的频数为22，所占的百分比为，可求出调查学生总数；
（2）“开合跳”的人数占调查人数的，即可求出最喜爱“开合跳”的人数；
（3）求出“健身操”所占的百分比，用样本估计总体，即可求出8000人中喜爱“健身操”的人数．
【解答】解：（1）（人，
答：参与调查的学生总数为200人；
（2）（人，
答：最喜爱“开合跳”的学生有48人；
（3）最喜爱“健身操”的学生数为（人，
（人，
答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人．
【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中的数量之间的关是解决问题的关键．
20．（8分）如图，的半径，于点，．
（1）求弦的长．
（2）求的长．

【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得的长，然后即可得到的长；
（2）根据，可以得到的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）的半径，于点，，
，
；
（2），，
，
，
的长是：．
【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（8分）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低，气温和高度（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求关于的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为，求该山峰的高度．

【分析】（1）根据高度每增加1百米，气温大约降低，由3百米时温度为，即可得出高度为5百米时的气温；
（2）应用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低，
，
高度为5百米时的气温大约是；

（2）设关于的函数表达式为，
则：，
解得，
关于的函数表达式为；

（3）当时，，
解得．
该山峰的高度大约为15百米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22．（10分）如图，在中，，，．
（1）求边上的高线长．
（2）点为线段的中点，点在边上，连结，沿将折叠得到．
①如图2，当点落在上时，求的度数．
②如图3，连结，当时，求的长．

【分析】（1）如图1中，过点作于．解直角三角形求出即可．
（2）①证明，可得解决问题．
②如图3中，由（1）可知：，证明，推出，由此求出即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，过点作于．

在中，．

（2）①如图2中，

，
，
，
，
，
，
．

②如图3中，由（1）可知：，

，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
在，，
．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．
（1）当时，求的值．
（2）当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．
（3）作直线与轴相交于点．当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出时，的值即可判断．
（3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
【解答】解：（1）当时，，
当时，．

（2）当时，将代入函数表达式，得，
解得或（舍弃），
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．

（3）点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．
（1）求证：四边形为菱形．
（2）求四边形的面积．
（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．

【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）连接，求出的面积即可解决问题．
（3）首先证明，①当为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形．②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，

，，
四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，
，
，
四边形是菱形．

（2）解：如图1中，连接．
，
，
，
．

（3）解：如图1中，连接，设交于，
，，
，
，
，
，
，
①当为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设交于，过点作轴于，交于，设．

菱形菱形，
，
，，
，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图3中，过点作轴于，过点作轴交于，延长交于．

同法可证：，
，设，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
．
②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，，过点作于，过点作于．

是的中位线，
，
同法可得：，
，
，
，设，则，
，
，
，
，
点的坐标为，．

如图5中，，过点作轴于交于，过点作于．

是的中位线，
，，
同法可得：，
，则，
设，则，
，
，
，
，
，．
③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形：

过点作轴于于点，交于，过点作于．
轴，，
，
，
同法可得：，
，
，，
是的中位线，
，
，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或，或，或．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题，属于中考压轴题．