2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1．（3分）的倒数是　　

A． B． C．8 D．

2．（3分）下列运算一定正确的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A．扇形 B．正方形 

C．等腰直角三角形 D．正五边形

4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是　　

A． B． 

C． D．

5．（3分）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

6．（3分）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为　　

A． B． C． D．

8．（3分）方程的解为　　

A． B． C． D．

9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是　　

A． B． C． D．

10．（3分）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是　　

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共计30分）

11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为　　．

12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是　　．

13．（3分）已知反比例函数的图象经过点，则的值为　　．

14．（3分）计算的结果是　　．

15．（3分）把多项式分解因式的结果是　　．

16．（3分）抛物线的顶点坐标为　　．

17．（3分）不等式组的解集是　　．

18．（3分）一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角是　　度．

19．（3分）在中，，为边上的高，，，则的长为　　．

20．（3分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为　　．

三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）

21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中．

22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上；

（2）在图中画出以为边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的周长为．连接，请直接写出线段的长．

23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的．请你根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）请通过计算补全条形统计图；

（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．

24．（8分）已知：在中，，点、点在边上，，连接、．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于．

25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．

（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；

（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？

26．（10分）已知：是的外接圆，为的直径，，垂足为，连接，延长交于点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，过点作交于点，点为的中点，连接，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积为，求线段的长．

27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，，过点作轴的垂线与过点的直线相交于点，直线的解析式为，过点作轴，垂足为，．

（1）如图1，求直线的解析式；

（2）如图2，点在线段上，连接，点在线段上，过点作轴，垂足为，交于点，若，求的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接，过点作的垂线交线段于点，连接，过点作轴的平行线交于点，连接交轴于点，连接，若，，求点的坐标．

2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1．（3分）的倒数是　　

A． B． C．8 D．

【解答】解：的倒数是，

故选：．

2．（3分）下列运算一定正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，原计算错误，故此选项不合题意；

、，原计算错误，故此选项不合题意；

、，原计算正确，故此选项合题意；

、，原计算错误，故此选项不合题意．

故选：．

3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A．扇形 B．正方形 

C．等腰直角三角形 D．正五边形

【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：．

4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，

故选：．

5．（3分）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：为圆的切线，

，即，

，

，

．

故选：．

6．（3分）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；

由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：；

故选：．

7．（3分）如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

与关于直线对称，点的对称点是点，

，

，

故选：．

8．（3分）方程的解为　　

A． B． C． D．

【解答】解：方程的两边同乘得：

，

解得，

经检验，是原方程的解．

故选：．

9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：袋子中一共有9个除颜色不同外其它均相同的小球，其中红球有6个，

摸出的小球是红球的概率是，

故选：．

10．（3分）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

故选：．

二、填空题（每小题3分，共计30分）

11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为　　．

【解答】解：，

故答案为：．

12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是　　．

【解答】解：由题意得，

解得．

故答案为：．

13．（3分）已知反比例函数的图象经过点，则的值为　　．

【解答】解：反比例函数的图象经过点，

，

故答案为：．

14．（3分）计算的结果是　　．

【解答】解：原式．

故答案为：．

15．（3分）把多项式分解因式的结果是　　．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

16．（3分）抛物线的顶点坐标为　　．

【解答】解：抛物线是顶点式，

顶点坐标是．

故答案为：．

17．（3分）不等式组的解集是　　．

【解答】解：，

由①得，；

由②得，，

故此不等式组的解集为：．

故答案为：．

18．（3分）一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角是　130　度．

【解答】解：设这个扇形的圆心角为，

，

解得，，

故答案为：130．

19．（3分）在中，，为边上的高，，，则的长为　5或7　．

【解答】解：在中，，，

，

如图1、图2所示：

，

，

故答案为：7或5．

20．（3分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为　　．

【解答】解：设，则，

四边形为菱形，

，，，

，

，

，

，

，

，解得，

即，，

在中，，

在中，．

故答案为．

三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）

21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中．

【解答】解：原式

，

，

原式．

22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上；

（2）在图中画出以为边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的周长为．连接，请直接写出线段的长．

【解答】解：（1）如图，正方形即为所求．

（2）如图，即为所求．．

23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的．请你根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）请通过计算补全条形统计图；

（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．

【解答】解：（1）（名，

答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；

（2）（名，补全条形统计图如图所示：

（3）（名，

答：冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名．

24．（8分）已知：在中，，点、点在边上，，连接、．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于．

【解答】（1）证明：，

，

在和中，

，

，

；

（2），

，

，

，

，，

，，，

满足条件的等腰三角形有：，，，．

25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．

（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；

（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？

【解答】解：（1）设每个大地球仪元，每个小地球仪元，根据题意可得：

，

解得：，

答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；

（2）设大地球仪为台，则小地球仪为台，根据题意可得：

，

解得：，

答：最多可以购买5个大地球仪．

26．（10分）已知：是的外接圆，为的直径，，垂足为，连接，延长交于点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，过点作交于点，点为的中点，连接，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积为，求线段的长．

【解答】证明：（1）为的直径，，

，

，

又，

，

，

，

，

，

；

（2）如图2，连接，

是直径，

，

点是中点，

，

又，

，，

，

，

，

又，，

，

；

（3）如图3，过点作，交于，

设，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的面积为，

，

，

，

，

，，，

，

如图3，连接，过点作，交的延长线于，

由（2）可知：，

四边形是圆内接四边形，

，

又，

，

，

，

，，

，

．

27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，，过点作轴的垂线与过点的直线相交于点，直线的解析式为，过点作轴，垂足为，．

（1）如图1，求直线的解析式；

（2）如图2，点在线段上，连接，点在线段上，过点作轴，垂足为，交于点，若，求的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接，过点作的垂线交线段于点，连接，过点作轴的平行线交于点，连接交轴于点，连接，若，，求点的坐标．

【解答】解：（1）轴，，

时，，解得，

，

轴，

，

，

，

设直线的解析式为，则有，

解得，

直线的解析式为．

（2）如图2中，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

直线的解析式为，设点的横坐标为，则，

，

把，代入中，得到，

，

，

把代入，中，得到，

，

，

，

．

（3）如图3中，设直线交的延长线于，交轴于，过点作于．

轴，

，，，，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

设，则，，，

，

，

，

，

解得，

，，

，，，

，，

四边形是矩形，

，

，

，

，

由（2）可知，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，．