【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试-19 轴对称与等腰三角形（基础）（教师版）

专题19 轴对称与等腰三角形（专题测试-基础）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、        选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1．（2017·湖北中考模拟）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（   ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【详解】

解：∵ED是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∵△BDC的周长=DB+BC+CD，

∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．

故选C．

2．（2019·四川中考模拟）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）

A．﹣5    B．﹣3    C．3    D．1

【答案】D

【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，

∴1+m=3、1﹣n=2，

解得：m=2、n=﹣1，

所以m+n=2﹣1=1，

故选D．

3．（2018·云南中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(    )

A．30° B．45° C．50° D．75°

【答案】B

【解析】

试题解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．

4．（2018·江苏中考真题）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （   ）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】B

【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，

又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，

①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，

②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，

故选B.

5．（2018·安徽中考模拟）如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC的直角顶点C在l1上，顶点A在l2上，若∠β=14°，则∠α=：

A．31° B．45° C．30° D．59°

【答案】A

【解析】

解：过点B作BE∥l1．∵l1∥l2，∴BE∥l1∥l2，∴∠CBE=∠α，∠EBA=∠β=14°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠α=∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=31°．故选A．

6．（2017·辽宁中考模拟）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（　　）

A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm

【答案】B

【解析】

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=CD，

∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，

∵AE=4cm，

∴AC=2AE=2×4=8cm，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．

故选B．

7．（2012·上海中考模拟）已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：

①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；

②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；

③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．

上述说法中，正确的有（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【答案】A

【详解】

①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，

利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；

②若添加条件为∠B=∠C，

又∵∠A=60°，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠A=∠B=∠C，

则△ABC为等边三角形；

③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：

已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，

求证：△ABC为等边三角形．

证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ADC=∠AEC=90°，

在Rt△ADC和Rt△CEA中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），

∴∠ACE=∠BAC=60°，

∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，

∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，

综上，正确的说法有3个．

故选：A．

8．（2017·厦门市中考模拟）等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是（　　   ）

A．70° B．70°或20° C．70°或40° D．40°

【答案】B

【解析】

分40°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①70°角是顶角时，三角形的顶角为70°，

②70°角是底角时，顶角为180°﹣70°×2=40°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为70°或40°．

9．（2012·浙江中考模拟）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A．AE＝BE    B．AC＝BE    C．CE＝DE    D．∠CAE＝∠B

【答案】B

【解析】

A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；

B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；

C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．

则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；

D、根据C的证明过程．故该选项正确．

故选B．

10．（2016·山东中考模拟）如图一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（   ）

A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里

【答案】B

【详解】

由题意得∠ABC=60°，AB=BC=40

∴△ABC是等边三角形

∴AC=AB=40海里．

故选B．

11．（2015·辽宁中考模拟）如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（  ）

A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm

【答案】A

【解析】

∵△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，

∴AD=CD，AE=CE=4cm，

∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，

∵△ABC的周长为30cm，

∴AB+BC+AC=30cm，

∴AB+BC=30-4×2=22cm，

∴△ABD的周长是22cm．

故选A．

12．（2019·广东中考模拟）点（3，2）关于x轴的对称点为

A．（3，﹣2）    B．（﹣3，2）    C．（﹣3，﹣2）    D．（2，﹣3）

【答案】A

【解析】

关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点（3，2）关于x轴对称的点的坐标是（3，－2）。故选A。

二、        填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

13．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

【答案】70

【详解】

∵∠ABC=90°，AB=AC，

∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，

∴∠BCF=∠BAE=25°，

∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，

故答案为70.

14．（2017·陕西中考模拟）如图：在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=________．

【答案】45°

【解析】

设∠EBD=x°，
∵BE=DE，∴∠EDB=∠EBD=x°，
∴∠AED=∠EBD+∠EDB=2x°，
∵AD=DE，
∴∠A=∠AED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=3x°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴2x+3x+3x=180，
解得：x=22.5，
∴∠A=2x°=45°．

15．（2016·湖南中考真题）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．

【答案】13

【解析】

已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，

16．（2017·天津中考模拟）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为      

【答案】等腰直角三角形。

【解析】

∵，∴c2－a2－b2=0，且a－b=0。

由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形。

又由a－b=0得a=b，∴△ABC为等腰直角三角形。

17．（2019·甘肃中考真题）在中，，则__________．

【答案】70°

【详解】

∵AB＝AC,  ∠A＝400，

∴∠B＝∠C＝700.

三、        解答题（共4小题，每小题8分，共32分）

18．（2019·重庆中考真题）如图，在中，，于点D．

（1）若，求的度数；

（2）若点E在边AB上，交AD的延长线于点F．求证：．

【答案】（1）48°；（2）证明见解析.

【详解】

解：（1）∵，于点D，

∴，，

又，

∴；

（2）∵，于点D，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

19．（2018·福建中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 已知AD=2cm，BC=5cm.

（1）求证：FC=AD；

（2）求AB的长.   

【答案】（1）证明见解析 ；（2）AB=7cm.

【解析】

（1）∵AD∥BC

∴∠ADC=∠ECF ，

∵E是CD的中点，

∴DE=EC ，

∵在△ADE与△FCE中， ，

∴△ADE≌△FCE(ASA) ，

∴FC=AD ；

（2）∵△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，AD=CF ，

∵BE⊥AE ，

∴BE是线段AF的垂直平分线，

∴AB=BF=BC+CF，

∵AD=CF ，

∴AB=BC+AD=5+2=7(cm).

20．（2018·江苏中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，

（1）求证：△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　   　°．

【答案】（1）证明见解析；（2）75．

【详解】

（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠ACF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，

∴∠CAF=∠BAE=30°，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD，

∴∠ADC==75°，

故答案为75．

21．（2017·安徽中考模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（4，0），B（－1，4），C（－3，1）.

(1)作出△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；

(2)写出点A′， B′，C′的坐标；

(3)求△ABC的面积.

【答案】（1）见解析；（2）（4，0），（﹣1，﹣4），（﹣3，﹣1）；（3）11.5．

（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；

（2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（﹣1，﹣4），点C′的坐标为（﹣3，﹣1）；

（3）△ABC的面积为：7×4﹣×2×3﹣×4×5﹣×1×7=11.5．