黄金卷05-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第五模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．（2020·江西高三期中（理））若集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为,，

所以，

故选：C

2．（2020·湖南高三开学考试）设复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

故选：C.

3．（2020·全国高三其他模拟（文））设，，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解:选项A:易知，，所以A正确；

选项B:因为，

即，又，所以，B正确；

选项C:又，，所以，从而，C错误；

选项D:又，可知D正确.

综上，A，B，D正确，C错误.

故选:C

4．（2020·江苏海安市·高三期中）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BD，

又，，所以即在时不是单调递增，排除C．

故选：A．

5．（2020·湖南高三开学考试）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（    ）

A．13小时 B．15小时 C．17小时 D．19小时

【答案】B

【详解】

由已知时，，故，解得；

污染物减少27%，即，

由，所以，则.

故选：B.

6．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

∵

∵函数f(x)在上取得极大值，在上取得极小值，

，即，

在直角坐标系aOb中画出不等式组所表示的区域如图所示：

这是由为顶点的三角形及其内部区域，

可看作区域上点与点的连线的斜率，

结合图形可知

故选：D

7．（2020·河南高二月考（文））已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题可知，

即，

在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得

即，整理得

易得面积

又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，

所以

由已知，得，则，即

在中，利用正弦定理知

即，又，整理得

两边同除以，则，解得或（舍去）

故选：C.

8．（2020·江西宜春市·高一期末）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

设甲到起点站的时间为：时分，乙到起点站的时间为时分，

所以，

记事件为甲乙搭乘同一辆公交车，

所以，

作出可行域以及目标区域如图所示：

由几何概型的概率计算可知：.

故选：D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．（2020·江苏高三月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为  D．2个球不都是红球的概率为

【答案】ABC

【详解】

A. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球都是红球的概率为，故正确；

B. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球中恰有1个红球的概率为，故正确；

C.  因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以至少有1个红球的概率为，故正确；

D. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球不都是红球的概率为，故错误；

故选：ABC

10．（2020·吕叔湘中学高三月考）关于函数，有下述三个结论正确的有（    ）

A．f(x)的一个周期为； B．f(x)在上单调递增；

C．.的值域与f(x)相同 D．f(x)的值域为

【答案】BCD

【详解】

A.

，错误；

B.当时，，所以，

单调递增区间为，

得，当时，，正确；

C. 把函数的图象向右移动单位得到

，

又它们的定义域都为，所以它们的值域相同，正确；

D．由C知函数与的值域相同，

，

所以时，，

所以正确.

故选：BCD.

11．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】

对于选项A ：因为幂函数在单调递增，，所以

因为指数函数在上单调递减，所以，

所以，故选项A不正确；

对于选项B：因为，，所以，

所以，即，故选项B正确；

对于选项C：令，则

所以在上递减，所以，即，故选项C正确；

对于选项D：令，则，

所以在上递增，在上递减，而,

所以，即，

所以，即，所以，故选项D正确，

综上正确答案为BCD.

故选：BCD

12．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【详解】

A选项，，A正确；

B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，

因为，所以，所以，B正确；

C选项，因为，所以，C错误；

D选项，令，，

所以在单调递增，所以，所以，

则，所以，即，

所以，所以D错误.

故选：AB.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·江西高三期中（理））平面向量与的夹角为，且，，则________.

【答案】

【详解】

∵向量与的夹角为，，，

∴，

则，

故答案为：．

14．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金（万元）的3倍，已知．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元）

【答案】100

【详解】

由题意知，五年累计总投入资金为

，

当且仅当时等号成立，

所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为100万元.

15．（2020·永安市第一中学高二期中）已知三棱锥内接于球O，且，，，若三棱锥的体积为4，又AC过球心O，则球O的表面积最小值是_______.

【答案】

【详解】

由题意，因为过球心，所以为球的直径，可得，

因为，，且，

所以平面，所以，

设，，

因为，，可得

所以，所以，即，

在中，可得，

在直角中，可得，

整理得，即，

联立方程组 ，可得，

又由，

当且仅当时，即等号成立，

所以，即，所以最小值为，

所以外接球的表面积的最小值为.

16．（2020·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________，__________．

【答案】1    8   

【详解】

由于点满足，所以是线段的中点.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.设，由于在抛物线上，且，根据抛物线的定义得，所以，则，不妨设.若直线斜率不存在，则，则，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则.由于是线段中点，所以，而，所以，即，即，解得.所以，所以，则到准线的距离为，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知.

故答案为：(1). 1  (2). 8

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·江西高三期中（文））设函数.

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）在中，内角、、的对边分别为、、，若，，且，求的值.

【答案】（1）函数的最大值为，最小正周期为；（2）.

【详解】

（1），

所以，，函数的最小正周期为；

（2），，

由正弦定理可得，所以，.

18．（2020·天津滨海新区·大港一中高三期中）已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；；（2）.

【详解】

（1）依题意，由，，可得，因为，所以解得，，

，，

对于数列：当时，，

当时，，

当时，也满足上式，

，.

（2）由题意及（1），可知：

当为奇数时，，

当为偶数时，，

令，，则

，

，

，

两式相减，可得，

，

，

，

，

.

19．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））如图，在三棱柱中，侧面底面，，，．

（1）求证：；

（2）求三棱柱的侧面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】

解：（1）如图所示：

连接，

∵，

∴侧面是菱形，

∴，

∵侧面底面，且平面平面，

，

∴平面，

又∵平面，

∴，

又，

∴平面，

又平面，

∴；

（2）如上图：设棱的中点为，连，，

则，

∴底面．从而，

由，，

得：，，

∴，

在中，由余弦定理得:，

即，

∴，

由（1）知平面，

∴，，

又，

∴三棱柱的侧面积为．

20．（2020·广西高三一模（理））某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共个问题，提问时将从中抽取个问题进行提问.某日，创城检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了个问题中的个，乙背了其中的个，丙背了其中的个.计一个问题答对加分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分分，达到分该学校为合格，达到分时该学校为优秀.

（1）求校优秀的概率（保留位小数）；

（2）求出校答对的问题总数的分布列，并求出校得分的数学期望；

（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，校得分的数学期望为；（3）答案见解析.

【详解】

（1）记校答对的题目个数为，记事件校优秀，则；

（2）由题意可知随机变量的可能取值为、、、、、，

，

，

，

，

，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

随机变量的数学期望为，

因此，校得分的数学期望为；

（3）建议：①强化公民道德教育，提高市民文明程度；②加强基础设施建设，营造优美人居环境.

21．（2020·全国高三其他模拟（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的一点，且直线，的斜率之积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）设，

由题意知：，，

，

，

解得：，

椭圆的标准方程为；

（2）根据题意，设，，直线，

由，

消去并整理得：，

则，

即，，

，，

，

又，

由，得：，

解得：，

，，

故.

22．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，证明：在上存在唯一零点．

【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析.

【详解】

（1）当时，，的定义域为，

由得，由得，且，

∴在上单调递增，在，上单调递减．

∴当时，取得极小值，无极大值．

（2）证明：当时，

．

令，

则在上的零点即在上的零点

，

令，则．

当时，则，∴在区间上单调递增．

又，，

∴存在使得，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

又因为，，

∴在上存在一个零点，

在上没有零点，

∴在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点．