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初中人教版18.2.2 菱形精品课后测评
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这是一份初中人教版18.2.2 菱形精品课后测评，共16页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，已知点A等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、梯形
2.用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、等腰梯形
3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③B、②③ C、③④D、①②③
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形B、等腰梯形 C、菱形D、矩形
5.在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、梯形
6.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形B、正方形 C、矩形D、菱形
7.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形B、等腰梯形 C、菱形D、矩形
8.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分
9.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A、平行四边形B、矩形 C、菱形D、正方形
11.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）
A．12m B．20m C．22m D．24m
12.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
13.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A.CF＞GBB.GB=CF C.CF＜GBD.无法确定
15.如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
A、36°B、72° C、120°D、44°
二、填空题
1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
2.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．
3.如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 _________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD是菱形；_________⇒ABCD是菱形．
5.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
三、解答题
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
3.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
4.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
5.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、梯形
答案：B
知识点：坐标与图形性质；菱形的判定
解析：
解答：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．
分析：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．
2.用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、等腰梯形
答案：B
知识点：等边三角形的性质；菱形的判定
解析：
解答：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故选B．
分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③B、②③ C、③④D、①②③
答案：A
知识点：菱形的判定；平行四边形的性质
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确．故选A．
分析：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形B、等腰梯形 C、菱形D、矩形
答案：C
知识点：菱形的判定
解析：
解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
5.在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、梯形
答案：B
知识点：等边三角形的性质；菱形的判定
解析：
解答：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．故选B．
分析：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．
6.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形B、正方形 C、矩形D、菱形
答案：D
知识点：等边三角形的性质；菱形的判定
解析：
解答：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．故选D．
分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
7.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形B、等腰梯形 C、菱形D、矩形
答案：C
知识点：菱形的判定
解析：
解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
8.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分
答案：D
知识点：菱形的判定
解析：
解答：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，故选D．
分析：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．
9.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A、平行四边形B、矩形 C、菱形D、正方形
答案：C
知识点：菱形的判定；平方的非负性
解析：
解答：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形．
解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，
由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，
∴a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形，
故选C．
分析：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质．
10.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A、是正方形B、是长方形 C、是菱形D、以上答案都不对
答案：C
知识点：垂径定理；菱形的判定
解析：
解答：根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．由垂径定理知，OC垂直平分AB，即OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．故选C．
分析：本题综合考查了垂径定理和菱形的判定方法．
11.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）
A．12m B．20m C．22m D．24m
答案：C
知识点：菱形的性质；等边三角形的性质
解析：
解答：连接AC，已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出△ABC为正三角形，以△ABC的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ ABC边长的 SKIPIF 1 < 0 ，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为 SKIPIF 1 < 0 ×6×10＝20m，故选B．
分析：本题综合考查了菱形的性质和等边三角形的性质．
12.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
答案：C
知识点：菱形的判定
解析：
解答：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴A、B、D都不正确；∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，∴C正确．故选C．
分析：本题综合考查了菱形的判定．
13.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
答案：D
知识点：菱形的判定
解析：
解答：A．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；B．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；C．错误，可判定为等腰梯形，而不是菱形；D．正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形．故选D．
分析：本题综合考查了菱形的判定．
14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A.CF＞GBB.GB=CF C.CF＜GBD.无法确定
答案：B
知识点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质
解析：
解答：用观察和作图的方法可以猜测CF=GB．下面只要证明CF=GB即可．由条件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证．要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明．要证平行四边形EHBG，两对边平行即可．关于证明EH∥BC，只需证明∠AHE=∠B，通过在Rt△ACD与Rt△ACD中，证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得．
解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故选B．
分析：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质．难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG．此类题学生丢分率较高，需注意．
15.如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
A、36°B、72°
C、120°D、44°
答案：C
知识点：等腰三角形的性质；菱形的判定与性质
解析：
解答：先证明四边形ABDC是菱形，再根据DE是AB的垂直平分线，得到△ABD是正三角形，此题就不难求解了．
解：如图，连接AD，BD，
∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵DE垂直平分腰AB，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠A=2∠DAB=120°，
∴∠A的度数为120°．
故选C．
分析：本题考查了菱形的判定和性质，四边都相等的四边形是菱形，这是解决本题的关键．
二、填空题（共5小题）
1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _________ （只填一个你认为正确的即可）．
答案：AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD
知识点：菱形的判定
解析：
解答：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，
再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
分析：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
2.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．
答案：AB=AD或AC⊥BD
知识点：菱形的判定
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD．
分析：本题考查菱形的判定，答案不唯一．
3.如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 _________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
答案：AC⊥EF或AF=CF等
知识点：菱形的判定；平行四边形的性质；角平分线的性质
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．
解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠AFB，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=FAD，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
分析：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一．
4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： _________⇒ABCD是菱形；_________⇒ABCD是菱形．
答案：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形；（3）（4）（5）或者（3）（4）（6）⇒ABCD是菱形．
知识点：菱形的判定
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
解：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形．
先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，
再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
（3）（4）（5）⇒ABCD是菱形．
由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．
（3）（4）（6）⇒ABCD是菱形．
由（3）（4）得出四边形是平行四边形，
再由（6）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
分析：本题考查菱形的判定．
5.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
答案：AB=BC或者AC⊥BD
知识点：菱形的判定
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．
分析：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．
三、解答题（共5小题）
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定；菱形的判定
解析：
解答：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．
（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE，
又∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AB=AC，
∴四边形ABEC为菱形．
分析：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．
2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
解析：
解答：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．
（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，
∴DE=AB=BE．
由题意可知EB∥DF且EB=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
分析：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．
3.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定
解析：
解答：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是平行四边形，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证平行四边形AEDF实菱形．
证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
分析：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．
4.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
答案：见解析
知识点：菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （ASA ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
分析：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．
5.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定；菱形的判定
解析：
解答：（1）由SSS可证△ABC≌△DCB；（2）BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN．
（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB；
（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形，
由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM（等角对等边），
∴四边形BMCN是菱形，
∴BN=CN．
分析：此题主要考查全等三角形和菱形的判定．
一、选择题
1.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、梯形
2.用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、等腰梯形
3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③B、②③ C、③④D、①②③
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形B、等腰梯形 C、菱形D、矩形
5.在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、梯形
6.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形B、正方形 C、矩形D、菱形
7.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形B、等腰梯形 C、菱形D、矩形
8.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分
9.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A、平行四边形B、矩形 C、菱形D、正方形
11.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）
A．12m B．20m C．22m D．24m
12.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
13.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A.CF＞GBB.GB=CF C.CF＜GBD.无法确定
15.如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
A、36°B、72° C、120°D、44°
二、填空题
1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．
2.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．
3.如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 _________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD是菱形；_________⇒ABCD是菱形．
5.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
三、解答题
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
3.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
4.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
5.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、梯形
答案：B
知识点：坐标与图形性质；菱形的判定
解析：
解答：画出草图，求得各边的长，再根据特殊四边形的判定方法判断．在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形．
分析：动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点．
2.用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、等腰梯形
答案：B
知识点：等边三角形的性质；菱形的判定
解析：
解答：由题可知，得到的四边形的四条边也相等，得到的图形是菱形．由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故选B．
分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
A、①③B、②③ C、③④D、①②③
答案：A
知识点：菱形的判定；平行四边形的性质
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确．故选A．
分析：本题考查菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形B、等腰梯形 C、菱形D、矩形
答案：C
知识点：菱形的判定
解析：
解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
5.在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（ ）
A、矩形B、菱形 C、正方形D、梯形
答案：B
知识点：等边三角形的性质；菱形的判定
解析：
解答：用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形，它的四条边长都为a，根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形．根据题意得，拼成的四边形四边相等，则是菱形．故选B．
分析：此题主要考查了等边三角形的性质，菱形的定义．
6.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形B、正方形 C、矩形D、菱形
答案：D
知识点：等边三角形的性质；菱形的判定
解析：
解答：由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．由题意可得：得到的四边形的四条边相等，即是菱形．故选D．
分析：本题利用了菱形的概念：四边相等的四边形是菱形．
7.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（ ）
A、正方形B、等腰梯形 C、菱形D、矩形
答案：C
知识点：菱形的判定
解析：
解答：首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选C．
分析：本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形．
8.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分
C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分
答案：D
知识点：菱形的判定
解析：
解答：根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有D能判定为是菱形，故选D．
分析：本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定．
9.四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（ ）
A、平行四边形B、矩形 C、菱形D、正方形
答案：C
知识点：菱形的判定；平方的非负性
解析：
解答：本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
得到（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，从而得出a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形．
解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，
2（a2+b2+c2+d2）=2（ab+bc+cd+ad），）
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（a﹣d）2=0，
由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，
∴a=b=c=d，
∴四边形一定是菱形，
故选C．
分析：此题主要考查了菱形的判定，关键是整理配方式子，还利用了非负数的性质．
10.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（ ）
A、是正方形B、是长方形 C、是菱形D、以上答案都不对
答案：C
知识点：垂径定理；菱形的判定
解析：
解答：根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．由垂径定理知，OC垂直平分AB，即OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．故选C．
分析：本题综合考查了垂径定理和菱形的判定方法．
11.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）
A．12m B．20m C．22m D．24m
答案：C
知识点：菱形的性质；等边三角形的性质
解析：
解答：连接AC，已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出△ABC为正三角形，以△ABC的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ ABC边长的 SKIPIF 1 < 0 ，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为 SKIPIF 1 < 0 ×6×10＝20m，故选B．
分析：本题综合考查了菱形的性质和等边三角形的性质．
12.能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等 D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
答案：C
知识点：菱形的判定
解析：
解答：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴A、B、D都不正确；∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，∴C正确．故选C．
分析：本题综合考查了菱形的判定．
13.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（ ）
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
答案：D
知识点：菱形的判定
解析：
解答：A．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；B．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；C．错误，可判定为等腰梯形，而不是菱形；D．正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形．故选D．
分析：本题综合考查了菱形的判定．
14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
A.CF＞GBB.GB=CF C.CF＜GBD.无法确定
答案：B
知识点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质
解析：
解答：用观察和作图的方法可以猜测CF=GB．下面只要证明CF=GB即可．由条件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证．要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明．要证平行四边形EHBG，两对边平行即可．关于证明EH∥BC，只需证明∠AHE=∠B，通过在Rt△ACD与Rt△ACD中，证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得．
解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故选B．
分析：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质．难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG．此类题学生丢分率较高，需注意．
15.如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
A、36°B、72°
C、120°D、44°
答案：C
知识点：等腰三角形的性质；菱形的判定与性质
解析：
解答：先证明四边形ABDC是菱形，再根据DE是AB的垂直平分线，得到△ABD是正三角形，此题就不难求解了．
解：如图，连接AD，BD，
∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵DE垂直平分腰AB，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠A=2∠DAB=120°，
∴∠A的度数为120°．
故选C．
分析：本题考查了菱形的判定和性质，四边都相等的四边形是菱形，这是解决本题的关键．
二、填空题（共5小题）
1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _________ （只填一个你认为正确的即可）．
答案：AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD
知识点：菱形的判定
解析：
解答：根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD．四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，
再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD（答案不唯一）
分析：本题考查平行四边形及菱形的判定．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
2.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．
答案：AB=AD或AC⊥BD
知识点：菱形的判定
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD．因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=AD或AC⊥BD．
分析：本题考查菱形的判定，答案不唯一．
3.如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 _________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）
答案：AC⊥EF或AF=CF等
知识点：菱形的判定；平行四边形的性质；角平分线的性质
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．
解：则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
证明：∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠AFB，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=FAD，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形，
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，
则添加的一个条件可以是：AC⊥EF．
分析：本题考查了菱形的判定，利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解，答案不唯一．
4.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： _________⇒ABCD是菱形；_________⇒ABCD是菱形．
答案：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形；（3）（4）（5）或者（3）（4）（6）⇒ABCD是菱形．
知识点：菱形的判定
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
解：（1）（2）（6）⇒ABCD是菱形．
先由（1）（2）得出四边形是平行四边形，
再由（6）和（2）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
（3）（4）（5）⇒ABCD是菱形．
由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形．
（3）（4）（6）⇒ABCD是菱形．
由（3）（4）得出四边形是平行四边形，
再由（6）得出∠DAC=∠DCA，
由等角对等边得AD=CD，
所以平行四边形是菱形．
分析：本题考查菱形的判定．
5.若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________（写一个即可），使四边形ABCD是菱形．
答案：AB=BC或者AC⊥BD
知识点：菱形的判定
解析：
解答：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．可补充条件：AB=BC或AC⊥BD．
分析：主要考查了菱形的特性．菱形的特性：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．
三、解答题（共5小题）
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定；菱形的判定
解析：
解答：由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB=AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．
（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
（2）解：当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE=2AD，∴AD=DE，
又∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AB=AC，
∴四边形ABEC为菱形．
分析：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．
2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定
解析：
解答：（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．
（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，
∴DE=AB=BE．
由题意可知EB∥DF且EB=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
分析：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．
3.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定
解析：
解答：（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；
（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是平行四边形，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AF=DF，从而可证平行四边形AEDF实菱形．
证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，
同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，
∴AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴∠DAF=∠FDA．
∴AF=DF．
∴平行四边形AEDF为菱形．
分析：考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．
4.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．
答案：见解析
知识点：菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
解析：
解答：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （ASA ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）
分析：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．
5.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
答案：见解析
知识点：全等三角形的判定；菱形的判定
解析：
解答：（1）由SSS可证△ABC≌△DCB；（2）BN=CN，可先证明四边形BMCN是平行四边形，由（1）知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，于是就有四边形BMCN是菱形，则BN=CN．
（1）证明：如图，在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB；
（2）解：据已知有BN=CN．证明如下：
∵CN∥BD，BN∥AC，
∴四边形BMCN是平行四边形，
由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∴BM=CM（等角对等边），
∴四边形BMCN是菱形，
∴BN=CN．
分析：此题主要考查全等三角形和菱形的判定．
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