人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律一课一练

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课时作业(十) 万有引力理论的成就


A组：基础落实练


1．若已知地球绕太阳公转的半径为r，公转周期为T，引力常量为G，则由此可求出( )








A．地球的质量 B．太阳的质量


C．地球的密度 D．太阳的密度


解析：设地球的质量为m，太阳的质量为M，由Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，即可求出太阳的质量，因为不知太阳的半径，故不能求出太阳的密度．B正确．


答案：B


2．科学家们推测，太阳系有颗行星和地球在同一轨道上．从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可以推知( )


A．这颗行星的质量等于地球的质量


B．这颗行星的密度等于地球的密度


C．这颗行星的公转周期与地球公转周期相等


D．这颗行星的自转周期与地球自转周期相等


解析：由题意知，该行星和地球一样绕太阳运行，且该行星、太阳、地球在同一直线上，说明该行星与地球有相同的公转周期，选项C正确；但根据所给条件，无法进一步判断这颗行星与地球的自转周期、质量、密度是否相同．


答案：C


3．地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估计地球的平均密度为( )


A.eq \f(3g,4πRG) B.eq \f(3g,4πR2G)


C.eq \f(g,RG) D.eq \f(g,RG2)


解析：忽略地球自转的影响，对于处于地球表面的物体，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，又地球质量M＝ρV＝eq \f(4,3)πR3ρ.


代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝eq \f(3g,4πRG).


答案：A


4．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq \f(1,20)，该中心恒星与太阳的质量比约为( )


A.eq \f(1,10) B．1


C．5 D．10


解析：根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，所以恒星质量与太阳质量之比为eq \f(M恒,M太)＝eq \f(r\\al(3,行)T\\al(2,地),r\\al(3,地)T\\al(2,行))＝eq \f(81,80)≈1，故选项B正确．


答案：B


5．(多选)假设“火星探测器”贴近火星表面做匀速圆周运动，测得其周期为T，若“火星探测器”在火星上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P，已知引力常量为G.由以上数据可以求得( )


A．火星的自转周期 B．火星探测器的质量


C．火星的密度 D．火星表面的重力加速度


解析：“火星探测器”绕火星表面做匀速圆周运动，轨道半径为火星的半径R，运行周期为T，由万有引力充当向心力，对火星探测器有Geq \f(Mm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R，且V＝eq \f(4,3)πR3、ρ＝eq \f(M,V)，联立可得火星的密度．选项C正确；由测力计测得质量为m的仪器重力为P，可以求得火星表面的重力加速度g＝eq \f(P,m)，选项D正确；由题给条件不能求出火星的自转周期和火星探测器的质量，A、B错误．


答案：CD


6．(多选)要计算地球的质量，除已知的一些常数外还需知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有哪些( )


A．已知地球半径R


B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v


C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T


D．已知地球公转的周期T′及运转半径r′


解析：设相对于地面静止的某一物体质量为m，地球的质量为M，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得Geq \f(Mm,R2)＝mg，解得M＝eq \f(gR2,G)，所以选项A正确；设卫星的质量为m，根据万有引力提供卫星运转的向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，即M＝eq \f(v2r,G)，所以选项B正确；再根据T＝eq \f(2πr,v)，得M＝eq \f(v2·r,G)＝eq \f(v2·\f(vT,2π),G)＝eq \f(v3T,2πG)，所以选项C正确；若已知地球公转的周期T′及运转半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D错误．


答案：ABC


7．据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的eq \f(1,480)，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )


A．轨道半径之比约为 eq \r(3,\f(60,480))


B．轨道半径之比约为 eq \r(3,\f(60,4802))


C．向心加速度之比约为 eq \r(3,60×4802)


D．向心加速度之比约为 eq \r(3,60×480)


解析：由公式Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，可得通式r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，则eq \f(r1,r2)＝eq \r(3,\f(M1,M2)·\f(T\\al(2,1),T\\al(2,2)))＝eq \r(3,\f(60,4802))，从而判断A错误，B正确；再由Geq \f(Mm,r2)＝ma得通式a＝Geq \f(M,r2)，则eq \f(a1,a2)＝eq \f(M1,M2)·eq \f(r\\al(2,2),r\\al(2,1))＝eq \r(3,\f(M1,M2)·\f(T\\al(4,2),T\\al(4,1)))＝eq \r(3,60×4804)，所以C、D错误．


答案：B


8．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的多少倍？


解析：根据星球表面万有引力等于重力，有Geq \f(Mm,R2)＝mg


得g＝eq \f(GM,R2)


根据密度与质量关系得M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，因星球的密度跟地球密度相同，所以


eq \f(g1,g2)＝eq \f(GM1,R\\al(2,1))×eq \f(R\\al(2,2),GM2)＝eq \f(M1,M2)×eq \f(R\\al(2,2),R\\al(2,1))＝eq \f(ρ\f(4π,3)R\\al(3,1),ρ\f(4π,3)R\\al(3,2))×eq \f(R\\al(2,2),R\\al(2,1))＝eq \f(R1,R2)


则eq \f(M1,M2)＝eq \f(ρV1,ρV2)＝eq \f(R\\al(3,1),R\\al(3,2))＝eq \f(64,1)


即该星球的质量是地球质量的64倍


答案：64倍


B组：能力提升练





9．如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )


A．甲的向心加速度比乙的小


B．甲的运行周期比乙的小


C．甲的角速度比乙的大


D．甲的线速度比乙的大


解析：甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力．由牛顿第二定律Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(4π2,T2)r＝mω2r＝meq \f(v2,r)，可得a＝eq \f(GM,r2)，T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，ω＝eq \r(\f(GM,r3))，v＝eq \r(\f(GM,r)).由已知条件可得a甲T乙，ω甲<ω乙，v甲

答案：A


10．[2019·石家庄检测]假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )


A.eq \f(3πg0－g,GT2g0) B.eq \f(3πg0,GT2g0－g)


C.eq \f(3π,GT2) D.eq \f(3πg0,GT2g)


解析：在地球两极处，Geq \f(Mm,R2)＝mg0，在赤道处，Geq \f(Mm,R2)－mg＝meq \f(4π2,T2)R，故R＝eq \f(g0－gT2,4π2)，则ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(R2g0,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g0,4πRG)＝eq \f(3πg0,GT2g0－g)，B正确．


答案：B





11．“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道．观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )


A.eq \f(l3,Gθt2) B.eq \f(l3θ,Gt2)


C.eq \f(l,Gθt2) D.eq \f(l2,Gθt2)


解析：根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝eq \f(l,θ)，根据转过的角度和时间，可得ω＝eq \f(θ,t)，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝mω2r，由以上三式可得M＝eq \f(l3,Gθt2).


答案：A


12．(多选)研究发现太阳系外有一颗适合人类居住的星球A的质量为地球质量的2倍，直径约为地球直径的2倍，则下列说法正确的是( )


A．星球A的自转周期一定比地球的自转周期小


B．同一物体在星球A表面的重力约为在地球表面重力的eq \f(1,2)


C．星球A的卫星的最大环绕速度与地球卫星的最大环绕速度近似相等


D．若星球A的卫星与地球的卫星以相同的轨道半径运行，则两卫星的线速度大小一定相等


解析：A错：由所给条件不能确定自转周期．


B对：根据g＝eq \f(GM,R2)，可得eq \f(gA,g地)＝eq \f(MAR\\al(2,地),M地R\\al(2,A))＝2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).


C对：根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，则最大环绕速度v＝eq \r(\f(GM,R))，联立以上可得eq \f(vA,v地)＝1.


D错：卫星的线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，因M不同，则v不同．


答案：BC


13.





(多选)如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看作球体)．地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出( )


A．卫星运行的周期 B．卫星距地面的高度


C．卫星的质量 D．地球的质量


解析：卫星从北纬30°的正上方，第一次运行至南纬60°正上方时，刚好为运动周期的eq \f(1,4)，所以卫星运行的周期为4t，A项正确；知道周期、地球的半径，由eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2(R＋h)及GM＝R2g，可以算出卫星距地面的高度，B项正确；通过上面的公式可以看出，能算出中心天体的质量，不能算出卫星的质量，C项错误，D项正确．


答案：ABD


14.





我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体．假设组合体在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，地球表面处重力加速度为g.且不考虑地球自转的影响．求


(1)组合体运动的线速度大小．


(2)向心加速度大小．


解析：在地球表面附近，物体所受重力和万有引力近似相等，有：Geq \f(Mm,R2)＝mg，组合体绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(v2,R＋h)＝ma，解得线速度v＝Req \r(\f(g,R＋h))，向心加速度a＝eq \f(gR2,R＋h2).


答案：(1)Req \r(\f(g,R＋h)) (2)eq \f(gR2,R＋h2)