河北省沧州市七校联盟2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)

沧州市七校联盟高三年级2020~2021学年上学期期中考试

数学试题

考生注意：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容（除双曲线、抛物线外）．

第I卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

3．的展开式中x的系数是（    ）

A．90 B．80 C．70 D．60

4．若，，则的最小值为（    ）

A．2 B．6 C．9 D．3

5．2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在内，按通行时间分为，，，，五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在内的车辆有235台，则通行时间在内的车辆台数是（    ）

A．450 B．325 C．470 D．500

6．在矩形ABCD中，，，点E满足，则（    ）

A．21 B． C．-22 D．

7．如图，在三棱锥D-ABC中，，一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形EFGH．已知，，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（    ）

A． B． C． D．

8．定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题；本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知等差数列的前n项和为，公差为d，且，，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的有（    ）

A．函数的最小正周期为

B．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称

C．当时，函数的值域为

D．当函数取得最值时，

11．已知为奇函数，且，当时，，则（    ）

A．的图象关于对称 B．的图象关于对称

C． D．

12．椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知函数，则________．

14．若，则________．

15．若P为直线上一个动点，从点P引圆的两条切线PM，PN（切点为M，N），则的最小值是________．

16．在棱长为2的正方体，中，E，F分别为棱，的中点，点P在线段EF上，则三棱锥的体积为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．

问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，________．求的面积．

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

18．（12分）设数列的前n项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

19．（12分）某电商为了解消费者的下一部手机是否会选购某一品牌手机，随机抽取了200位以前的客户进行调查，得到如下数据：准备购买该品牌手机的男性有80人，不准备买该品牌手机的男性有40人，准备买该品牌手机的女性有40人．

（1）完成下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关．

（2）该电商将这200个样本中准备购买该品牌手机的被调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给予500元优惠券的奖励，另外3人给予200元优惠券的奖励，求获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查者中都有女性的概率．

附：，．

20．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，二面角为60°，E为PD的中点．

（1）证明：平面PAD．

（2）求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为2．

（1）求的标准方程．

（2）过的右焦点F作相互垂直的两条直线，（均不垂直于x轴），交于A，B两点，交 于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．

22．（12分）已知函数．

（1）若，求的极值；

（2）若对任意，恒成立，求整数m的最小值．

沧州市七校联盟高三年级2020~2021学年上学期期中考试

数学试题参考答案

1．B  ．

2．C  因为，

所以复数z的虚部是．

3．A  ，

令，得，则的系数为．

4．D  因为，，

所以

．

当且仅当时取等号，

此时，解得．

5．C  因为，，，四组通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，

所以通行时间在内的频率是，

通过的车辆台数是．

6．C  分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系（图略），

因为，，，

所以，，

故．

7．A  EFGH是平行四边形，由线面平行的性质定理可得，

，直线EG和AC所成角，

即直线EG和EH所成角．

因为，所以．

因为，，所以，

故．

8．D  令，则，

所以在R上单调递增．

因为，所以不等式，

可变形得，所以，

解得．

9．BD  因为，

所以．

因为，，所以公差．

10．ABD  由题意得，

．

因为函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，

所以．因为，

所以函数的最小正周期，故A正确．

将的图象向左平移个单位长度，

得到曲线，

其图象关于y轴对称，故B正确．

当时，，

，即的值域为，

故C错误．

令，解得，

所以当取得最值时，，故D正确．

11．BD  为奇函数，

，，

同时说明的图象关于对称．

，，

即，可得，

函数的周期为4，

故．

12．AC  设，，，

则，，

，．

因为

恒成立，

所以离心率．

13．0  ，．

14．  ，．

，

．

15．  如图，由题可知圆C的圆心为，半径．

要使的长度最小，即要最小，则最小．

因为，

所以当最小时，最小因为，

所以当最小时，最小．

因为，

所以，

，

则．

16．2  因为，平面，

所以EF∥平面，

所以无论点P在线段EF上什么位置，它到平面的距离不变．

当点P是EF与的交点时，，

则P到平面的距离是到平面距离的．

因为到平面的距离为，

所以P到平面的距离是，

因为的面积，

所以三棱锥的体积．

17．解：若选①，由正弦定理，得，

即，所以，

因为，所以．

因为，

，，

所以，

所以．

若选②，由正弦定理，得．

因为，

所以，所以，

化简得，

所以．

因为，所以．

因为，，，

所以，

所以．

若选③，由正弦定理，得．

因为，

所以，所以．

因为，所以．

因为，，

所以，所以，所以．

因为，

，，所以，

所以．

18．解：（1）当时，，解得．

因为，①

所以当时，，②

①-②得，，所以．

故数列是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为．

（2）由题知，，

所以，③

，④

③-④得，

．

所以．

19．解：（1）由题意得2×2列联表如下：

因为，

所以有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备购买该品牌手机与性别有关．

（2）由题意可知，用分层抽样的方法抽取的6人中，

男性有人，女性有人．

设“获得500元优惠券者与获得200元优惠券者都有女性”为事件A，

则，

即获得500元优惠券与获得200元优惠券的被调查者中都有女性的概率为．

20．（1）证明：四边形ABCD为正方形，．

，，

平面PCD．

平面PCD，．

二面角P-AD-B为60°，．

，，为等边三角形．

为PD的中点，．

，平面PAD．

（2）解：过P作，垂足为O，易知O为CD的中点．

平面平面ABCD，

平面平面，平面PDC，

平面ABCD．

设AB的中点为Q，连接OQ，

则，平面PDC．

以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．

正方形ABCD的边长为2，

，，，，，，

，，，

平面PAD，

为平面ADE的一个法向量．

设是平面ABE的法向量，

则，

令，得．

．

平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为．

21．（1）解：因为离心率，，且，

所以，，，

故的标准方程为．

（2）证明：由（1）知．

设直线AB的方程为，，，

联立方程组，消去y得

，

则，，

所以M的坐标为．

因为，所以CD的斜率为．

将M坐标中的k换为，可得N的坐标为．

当时，设直线MN的斜率为，

则，

所以直线MN的方程为，

即，则直线MN过定点．

当时，直线MN的方程为，也过点．

综上所述，直线MN过定点．

22．解：（1）当时，，

．

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减．

所以在时取得极大值且极大值为，无极小值．

（2）因为对任意，恒成立，

所以在上恒成立，

即在上恒成立．

设，则．

设，

显然在上单调递减，

因为，，

所以，使得，即．

当时，；

当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以．

因为，所以，

故整数m的最小值为1．