河北省衡水中学2021届高三上学期期中考试 数学（理）(含答案)

数学(理)试卷

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。共150分，时间120分钟。

I卷

一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。

1、集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R，若M∩N＝φ，则a的取值范围是

A.a>1     B.a≥1     C.a<1     D.a≤1

2、若直线y＝kx与双曲线＝1相交，则k的取值范围是

A.(0，)     B.(－，0)     C.(－，)     D.(－∞，－)∪(，＋∞)

3、在△ABC中，AB＝3，AC＝2，，则＝

A.－     B.     C.－     D.

4、已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，正项等比数列{bn}中，b2＝a3，bn＋3bn－1＝4bn2(n≥2，n∈N＋)，则log2bn＝

A.n－1     B.2n－1     C.n－2     D.n

5、已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为

A.或－1     B.－1     C.1     D.1或－1

6、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2＋b2＝2014c2，则的值为

A.2013     B.1     C.0     D.2014

7、已知点M(a，b)(ab≠0)是圆C：x2＋y2＝r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为bx－ay＝r2，那么

A.l⊥m且m与圆C相切     B.l//m且/W与圆C相切

C.l⊥m且m与圆C相离     D.l//m且w与圆C相离

8、若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是

A.y2－4x＋4y＋8＝0    B.y2＋2x－2y＋2＝0    C.y2＋4x－4y＋8＝0    D.y2－2x－y＋1＝0

9、平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，＝－1，点M在边CD上，则的最大值为

A.－1     B.－1     C.0     D.2

10、已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆的离心率e的取值范围是

A.[，1]     B.[，－1]     C.[，]     D.[，]

11、已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为

A.     B.     C.＋1     D.－1

12、已知在R上的函数f(x)满足如下条件：①函数f(x)的图象关于y轴对称；②对于任意x∈R，f(2＋x)－f(2－x)＝0；③当x∈[0，2]时，f(x)＝x；④函数f(n)(x)＝f(2n－1·x)，n∈N*，若过点(－1，0)的直线l与函数f(4)(x)的图象在x∈[0，2]上恰有8个交点，在直线l斜率k的取值范围是

A.(0，)     B.(0，)     C.(0，)     D.(0，)

II卷

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知sin(2A＋)＝，b＝1，△ABC的面积为，则的值为          。

14、已知平面上有四点O，A，B，C，向量满足： ，则△ABC的周长是          。

15、已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为          。

16、已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1，若不等式2n2－n－3<(5－λ)ann对n∈N＋恒成立，则整数λ的最大值为          。

三、解答题：本大题共6题，共70分。17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且满足。

(1)求角A的大小；

(2)若b＋c＝a，试判断△ABC的形状。

18、已知圆C经过原点O(0，0)且与直线y＝2x－8相切于点P(4，0)。

(I)求圆C的方程；

(II)在圆C上是否存在两点M，N关于直线y＝kx－1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由。

19、各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn＝2pan2＋pan－p(p∈R)；

(1)求常数p的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)记bn＝，求数列的{bn}的前n项和Tn。

20、已知椭圆C：的离心率e＝，原点到过点A(a，0)，B(0，－b)的直线的距离是。

(1)求椭圆C的方程；

(2)如果直线y＝kx＋1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值。

21、已知定点F(0，1)，定直线m：y＝－1，动圆M过点F，且与直线m相切。

(I)求动圆M的圆心轨迹C的方程；

(II)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值。

22、设函数f(x)＝lnx－ax2－bx。

(I)当a＝b＝时，求函数f(x)的最大值；

(II)令F(x)＝f(x)＋ax2＋bx＋，(0<x≤3)其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；

(III)当a＝0，b＝－1，方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，求正数m的值。