数学必修1第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解教案

3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计）

教学目标：

知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点  通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点  恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

一、复习回础，新课引入：

高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．

二、师生互动，新课讲解：

1、二分法：

上节（P88例1）课我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．

我们知道，函数的图象与直角坐标系中轴交点的横坐标就是方程的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．

（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；

（2）用计算器计算，因为，所以零点在区间内；

（3）再取区间中点2.75，用计算器计算，因为，所以零点在区间内．

（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．

本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．

当精确度为0.01时，由于，所以，我们可将作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值．

对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．

给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：

1）确定区间，验证，给定精确度；

2）求区间的中点；

3）计算；

4）判断：（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）．

5）判断：区间长度是否达到精确度？即若，则得到零点近似值；否则重复2——5．

说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．

例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）．

小结：

1）  结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点．

2）  函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使的实数；

从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．

3）  用二分法求函数的变号零点

二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．

变式训练1：求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．

解　设f(x)＝x2－2x－1.

∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，

∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.

取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，

∴2<x0<2.5；

再取2与2.5的平均数2.25，

∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；

再取2.25与2.5的平均数为2.375，

f(2.375)＝－0.109 4<0，

∴2.375<x0<2.5，再取2.375与2.5的平均数为2.437 5，

f(2.437 5)＝0.066 4>0.

∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，

∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.

点评　对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．

例2：已知函数在区间上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是                

①     若，则函数在内有且只有一个零点

②     若，则函数在内无零点

③     若在内有零点，则

④     若，则函数在内有零点

⑤     若，则函数在内有零点

【解析】①有条件，则函数在内可能不止一个零点，如有（－3，3）内有三个零点；②在下函数在内未必没有零点，如在（－3，3）内有两个零点；③在内有零点，未必成立，如在（－3，3）内有零点，但；④注意端点问题，可能恰好使得＝0．本题从多角度、多侧面考查对定理的理解，对培养学生思维的严密性很有帮助．答案：⑤

变式训练2：（课本P92习题3.1 A组：NO：1）

例3：已知函数，当为何值时，函数在R上有一个零点？两个零点？无零点？

【解析】  当＝０时，是一次函数，在R上有且只有一个零点；当时，是二次函数，其零点个数由的符号决定．又，当时，，无零点；当时，，有一个零点；当时，，有两个零点．综上所述，当＝０或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点．

变式训练3：函数的零点是－１和２，求函数的零点．

解：由已知得是方程的两根,

,解得:

由得:,即.

故函数的零点是0.

三、课堂小结，巩固反思：

1．二分法的理论依据是什么？

二分法的理论依据是：如果函数在闭区间上连续不断，且，那么一定存在，使．

2．二分法的实施要点是什么？

二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过次的平分、判断，使零点存在于一个长度的小区间．当适当大时，满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值．

四、布置作业：

A组：

1．下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)

A．f(x)＝3x－1      B．f(x)＝x3      C．f(x)＝|x|       D．f(x)＝lnx

答案　C

解析　对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，

即函数f(x)＝|x|存在零点；

当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>0，

∴f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点．

2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点(　B　)．

A．至少有一个  B．至多有一个  C．有且只有一个   D．可能有无数个

3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)．

A.    B.      C.    D.

解析　因为f＝e＋4×－3＝e－2＜0，f＝e＋4×－3＝e－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.

答案　C

4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为           。（答案：1.437 5 ）

5．若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分(　　)

A．5次      B．6次              C．7次      D．8次

解析：设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，…，第n次二等分后区间长为.依题意得<0.01，∴n>log2100.由于6<log2100<7，∴n≥7，即n＝7为所求．

答案：C

6.[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是(　　)

A．(0，1)      B．(1，2)     C．(2，4)       D．(4，＋∞)

6．C　[解析] 方法一：对于函数f(x)＝－log2x，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.

7．方程在区间上的根必定属于区间（  B  ）

A． B． C． D．

8．函数的零点所在的大致区间是（  C  ）

A．（3，4）    B．（2，e）      C．（1，2）      D．（0，1）

9．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．

解析　函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f(0)f(1)<0，即a(a＋2)<0，解得－2<a<0.

答案　(－2,0)

B组：

1．(2010·福建)函数f(x)＝的零点个数为(　　)．（提示：作图）

A．3  B．2  C．7  D．0

分析：函数零点的个数⇔f(x)＝0解的个数⇔函数图象与x轴交点的个数．

解析　法一　由f(x)＝0得

或解得x＝－3，或x＝e2.

因此函数f(x)共有两个零点．