高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解课后测评

这是一份高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解课后测评，共4页。

1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．(－1，0)B．(0，1)
C．(1，2)D．(2，3)
解析：选C.f(－1)＝－eq \f(5,2)<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选(1，2)．
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的判断中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
解析：选A.使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2，4)B．(2，3)
C．(3，4)D．无法确定
解析：选B.因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
所以f(3)·f(4)>0，所以x0∈(2，3)．
4．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是( )
A．(1，1.25)B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)D．(1.75，2)
解析：选B.由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，易知函数f(x)的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B.
5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1，4]B．[－2，1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
解析：选D.因为第一次所取的区间是[－2，4]，
所以第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，
所以第三次所取的区间可能为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，4)).
6．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，
所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
答案：a2＝4b
7．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a的值为________．
解析：令f(x)＝2x－x2，
由表中的数据可得f(－1)<0，
f(－0.6)>0；f(－0.8)<0，f(－0.4)>0，
所以根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内，
所以a＝－1或a＝－0.8.
答案：－1或－0.8
8．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是______．
解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．
答案：1.5，1.75，1.875，1.812 5
9．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－eq \f(1,3)<0，
所以f(0)·f(2)<0，
由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．
(2)取x1＝eq \f(1,2)(0＋2)＝1，得f(1)＝eq \f(1,3)>0，
由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)．
再取x2＝eq \f(1,2)(1＋2)＝eq \f(3,2)，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(1,8)<0，
所以f(1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，下一个有解区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
再取x3＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)))＝eq \f(5,4)，
得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))＝eq \f(17,192)>0，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))<0，下一个有解区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2))).
综上所述，得所求的实数解x0在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(3,2)))内．
10．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
解：如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可迅速找到故障所在．
[B 能力提升]
11．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( )
A．5B．6
C．7D．8
解析：选C.开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为eq \f(1,2n).因为精确度为0.01，所以eq \f(1,2n)<0.01，
又n∈N*，所以n≥7，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
12．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝eq \f(a＋b,2)与真实零点的误差最大不超过( )
A.eq \f(ε,4) B.eq \f(ε,2)
C．εD．2ε
解析：选B.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－eq \f(a＋b,2)＝eq \f(a＋b,2)－a＝eq \f(b－a,2)＜eq \f(ε,2)，因此误差最大不超过eq \f(ε,2).
13．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
解：由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又函数f(x)在[1，2]内是增函数，所以函数f(x)在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2]．下面用二分法求解．
因为|1.187 5－1.25|＝0.062 5＜0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
14．(选做题)在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：用二分法的思想你最多称几次就可以发现这枚假币？
解：第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．所以最多称四次．
x
－1.6
－1.4
－1.2
－1
－0.8
y＝2x
0.329 9
0.378 9
0.435 3
0.5
0.574 3
y＝x2
2.56
1.96
1.44
1
0.64
x
－0.6
－0.4
－0.2
0
…
y＝2x
0.659 8
0.757 9
0.870 6
1
…
y＝x2
0.36
0.16
0.04
0
…
(a，b)
(a，b) 的中点
f(a)
f(b)
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))
(1，2)
1.5
f(1)＜0
f(2)＞0
f(1.5)＞0
(1，1.5)
1.25
f(1)＜0
f(1.5)＞0
f(1.25)＞0
(1，1.25)
1.125
f(1)＜0
f(1.25)＞0
f(1.125)＜0
(1.125，1.25)
1.187 5
f(1.125)＜0
f(1.25)＞0
f(1.187 5)＜0