高中数学人教版新课标A必修1第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.2对数函数及其性质教学设计及反思

2．2．2（3）对数函数及其性质（教学设计）

（内容：指数函数与对数函数的关系）

教学目的：

⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数；

⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识，了解互为反函数的两个函数图象间的关系；

⒊通过指数函数与对数函数的比较，了解互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系．

教学重点：底数相同的指数函数与对数函数互为反函数．

教学难点：互为反函数的两个函数图象间的关系．

教学过程：

一、复习回顾，新课引入：

1、指数函数与对数函数对照表

从上面的表格中，我们看到对数函数与指数函数之间有非常密切的关系，今天我们就对它们之间的关系来做一番研究．

二、师生互动，新课讲解：

例1：在同一坐标系中，作出函数与的图象,并观察两图象之间有何关系。

变式训练1：在同一坐标系中，作出函数与的图象，并观察两图象之间有何关系。

2、反函数：

问1：在指数函数中，x为自变量，y是因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？

答1：由指数式可得对数式．这样，对于任意一个，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．

问2：你可以用几何方法来得到上面的结论吗？

答2：指数函数中，x为自变量，y是x的函数，并且它是上的单调递增函数．我们过y轴正半轴上任一点，作x轴的平行线，与的图象有且只有一个交点．这也说明，对于任意一个，x在R中都有唯一的值和它对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数．

问3：这时我们称函数是函数的反函数．

请同学们考虑，在函数中，自变量、函数各是什么呢？这合乎我们的习惯吗？

答3：在函数中，y是自变量，x是函数．而习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数．

问4：为了和我们的习惯一致，我们常常对调函数在函数中的字母x，y，把它写成．于是，对数函数是指数函数的反函数．

请同学们仿照上面的过程，说明对数函数，且和指数函数，且之间的关系．

答4：（探究、讨论得出结论）对数函数，且和指数函数，且互为反函数．

问5：对于具体的指数函数，且，我们可以怎样得到它的反函数呢？

答5：对于具体的指数函数，且，我们可以先把它化为对数形式，然后再对调其中的字母x，y，就得到了它的反函数，且．

问6：请同学们观察一下对数函数，且和指数函数，且的定义域和值域，你能得出什么结论？

答6：指数函数，且的定义域和值域分别是对数函数，且的值域和定义域．

问7：请同学们观察对数函数是指数函数的图象，它们有什么关系呢？

答7：（观察得）对数函数是指数函数的图象关于直线对称．

小结：对数函数，且和指数函数，且的图象关于直线对称．两函数互为反函数。

例2：求下列函数的反函数：

（1）y=3x ；（2）y=lnx ；（3）y=；（4）

小结：求函数的反函数的步骤：

（1）求定义；（2）反解；（3）互换

性质：反函数的定义域就是原函数的值域。

变式训练2：求下列函数的反函数：

（1）       y=x+1；（2）y=；(3)y=

例3：作出下列函数的图象：

（1）y=|lgx| ；（2）y=lg|x|

变式训练3：作出下列函数的图象：

(1)y=||；（2）y=ln|x|；(3)y=

例4：解下列不等式：

 （1）；（2）；（3）；（4）

（5）

变式训练：解下列不等式：

（1）；（2）；（3）

三、课堂小结，巩固反思：

1、指数函数与对数函数互为反函数。

2、互为反函数的两图象关于y=x对称。

3、用“同底化”法解指对数不等式。

4、重视分类讨论的数学思想。

四、布置作业：

A组：

1、在同一坐标系中，作出函数y=lgx与的图象，并分别写出它们的定义域，值域，单调递增区间。

2、求下列函数的反函数

（1）y=2x+3；（2）y=ln(x+1)；（3）y=10x-1

3、解下列不等式：

（1） ；（2）；（3）；

4、判断下列函数的奇偶性

（1）；（2）y=loga|x|；（3）y=2|x|

B组：

1、(tb0218719)若a>0且a1，且loga<1，则实数a的取值范围是（D）。

（A）0<a<1  (B) 0<a<  (C) a>或0<a<  (D) 0<a<或a>1

2、函数的奇偶性为[    ]

A．奇函数而非偶函数    B．偶函数而非奇函数     C．非奇非偶函数  D．既奇且偶函数