高中人教版新课标A2.1.1指数与指数幂的运算教案设计

1.3.2函数的奇偶性（教学设计）

教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）学会判断函数的奇偶性．

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．

教学过程：

一、复习回础，新课引入：

1、函数的单调性

2、函数的最大（小）值。

3、从对称的角度，观察下列函数的图象：

；（3）；（4）

二、师生互动，新课讲解：

（一）函数的奇偶性定义

象上面的图象关于y轴对称的函数即是偶函数关于原点对称的函数即是奇函数．

1．偶函数（even function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数（odd function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。

（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．

（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．

（4）偶函数：, 

奇函数：；

（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

（二）典型例题

1．判断函数的奇偶性

例1．如图，已知偶函数y=f(x)在y轴右边的一部分图象，根据偶函数的性质，画出它在y轴左边的图象．

变式训练1：（课本P36练习NO：2）

例2（课本P35例5）：判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=；（4）f(x)=

归纳：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

 确定f(－x)与f(x)的关系；

 作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

变式训练2：（课本P36练习NO：1）

例3：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数

解：任取，使得 ，则

    由于f(x) 在(0，＋∞)上是增函数

    所以

    又由于f(x)是奇函数

    所以和

    由上得  即

    所以，f(x)在(－∞，0)上也是增函数

结论：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致． 

三、课堂小结，巩固反思：

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

四、作业布置

A组：

1、根据定义判断下列函数的奇偶性：

（1）；（2）；（3） （）；（4）f(x)=0 （）

2、（课本P39习题1.3 A组NO：6）

3、(tb0109806)若函数f(x)的图象关于原点对称且在x=0处有定义，则f(0)=_______。（答：0）

4、(tb0109803)若函数y=f(x) (xR) 为偶函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是（ C ）。

（A）(a, -f(a))  (B) (-a, -f(-a))  (C) (-a, f(a))  (D) (-a, -f(a))

B组：

1、(tb0109912)已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且与x轴有四个不同的交点，则方程f(x)=0的所有实根的和为（D）。

（A）4     （B）2       （C）1     （D）0

2、(tb0307345)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7,-3]上是（B）。

（A）增函数且最小值为-5   （B）增函数且最大值为-5

（C）减函数且最小值为-5    （D）减函数且最大值为-5

3、（课本P39习题1.3 B组NO：3）

C组：

1、定义在R上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围。

2、已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)；求当x <0时，函数f(x)的解析式

解：设x <0，则 －x >0

    有f(－x)= －x [1+(－x)]

由f(x)是偶函数，则f(－x)=f(x)

所以f(x) = －x [1+(－x)]= x(x－1)