2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第09章 第5讲 第2课时　直线与椭圆

[基础题组练]

1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)  B．(1，3)∪(3，＋∞)

C．(3，＋∞)  D．(0，3)∪(3，＋∞)

解析：选B．由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ＞0且m≠3及m＞0得m＞1且m≠3.

2．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)

A．±  B．±

C．±  D．±2

解析：选A．由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k＞0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得k＝；同理可得当k＜0时k＝－.

3．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选B．由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点A(0，－2)，B，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B．

4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋＝1  B．＋＝1

C．＋＝1  D．＋＝1

解析：选B．将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9.又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.

5．(2020·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选B．由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得所以＝，所以e＝，故选B．

6．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．

解析：因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1.

答案：＋x2＝1

7．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为________．

解析：由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由题意，得＝，

解得m＝±1.

答案：±1

8．已知直线l：y＝k(x－1)与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点横坐标为，则k＝________．　

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，因为直线l过椭圆内的定点(1，0)，所以Δ＞0，x1＋x2＝，所以＝＝，即k2＝，所以k＝±.

答案：±

9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

解：(1)根据c＝及题设知M，＝，

2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.

(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，

故＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则

即

代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得＋＝1.

解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.

10．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．

解：(1)由解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立，得

整理得y2－y－9＝0，

Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，又＝2，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝.

[综合题组练]

1．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析：选D．因为(＋)·＝(＋)·＝·＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，所以S△F1PF2＝mn＝1.

2．直线l过椭圆＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为(　　)

A．  B．±

C．±  D．

解析：选B．由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝2－1＝1，则c＝1，则左焦点F(－1，0)．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋k.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.则PQ的中点M的横坐标为＝－.因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以－＝－，解得k＝±.

3．从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．

解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，所以－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，

所以＝，所以e＝＝.

答案：

4.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为________．

解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，得b2＜ac，即a2－c2＜ac，故＋－1＞0即e2＋e－1＞0，e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1.

答案：

5．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求四边形ABF2F1的面积．

解：(1)由题意知2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，

所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又F1(－2，0)，F2(2，0)，

所以＝(－2－x1，－y1)，＝(2－x2，－y2)，

由＝2，得x1＋2＝2(x2－2)，y1＝2y2.

延长AB交x轴于H，因为＝2，所以AF1∥BF2，且|AF1|＝2|BF2|.所以线段BF2为△AF1H的中位线，即F2为线段F1H的中点，所以H(6，0)．设直线AB的方程为x＝my＋6，

代入椭圆方程，得5(my＋6)2＋9y2＝45，即(5m2＋9)y2＋60my＋135＝0.

所以y1＋y2＝－＝3y2，y1·y2＝＝2y，

消去y2，得m2＝，结合题意知m＝－.

S＝S－S＝|F1H|y1－|F2H|y2＝4y1－2y2＝8y2－2y2＝6y2

＝－＝.

6．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，

点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．

解：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝a，r2＝a.

在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，

解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)联立方程，得，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①

设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，所以k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②

把②代入①得3＋4k2＞，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解得k＞或k＜－，故k的取值范围为∪.