2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第05章 第3讲 第2课时　简单的三角恒等变换

第2课时　简单的三角恒等变换

考点一　三角函数式的化简(基础型)

复习指导三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

化简：(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________；

(2)·＝________．

【解析】　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)

＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)

＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．

(2)原式＝·

＝·

＝·＝.

【答案】　(1)sin(α＋γ)　(2)

三角函数式的化简要遵循“三看”原则

1．(2020·长沙模拟)化简：＝________．

解析：＝＝

＝4sin α.

答案：4sin α

2．化简：.

解：原式＝

＝

＝

＝cos 2x.

考点二　三角函数式的求值(综合型)

三角函数的求值包括给角求值、给值求值、给值求角三类．

角度一　给角求值

计算＝________．

【解析】　

＝

＝＝

＝＝2.

【答案】　2

给角求值问题的解题策略

在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．

[基本思路]　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：

角度二　给值求值

已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

(1)求cos 2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

【解】　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.

因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝，

因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－.

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，

因此tan(α＋β)＝－2.

因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.

给值求值问题的解题策略

已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值．

解题关键：把“所求角”用“已知角”表示

①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．

角度三　给值求角

(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为________．

【解析】　法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.

又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.

因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，

所以sin(2α－β)＝×－×＝.

因为α为锐角，所以0＜2α＜π.

又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，

又β为锐角，所以－＜2α－β＜，

又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.

法二：同法一得，cos β＝，sin α＝.

因为α，β为锐角，所以α－β∈.

所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.

所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，

故cos(α－β)＝＝＝.

又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．

所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝×－×＝.

所以2α－β＝.

【答案】　

(1)给值求角问题的解题策略

①求相关角的某一个三角函数值．

②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解．

(2)在选取函数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可；

③已知正、余弦函数值，若角的范围是(0，π)，选余弦函数；

④已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正弦函数．

1．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝(　　)

A．－   B．

C．－   D．

解析：选D．tan＝＝，所以tan α＝－，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝，故选D．

2.＝________．

解析：原式＝

＝

＝

＝＝－4.

答案：－4

3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos(α＋β)＝________，α＋β＝________．

解析：因为α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，

所以cos α＝，cos  β＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.

又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝，α＋β＝.

答案：　

[基础题组练]

1．计算：＝(　　)

A．  B．－

C．  D．－

解析：选D．原式＝－·＝－tan＝－×＝－.

2．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)

A．－   B．

C．   D．

解析：选D．由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D．

3．已知cos＝－，则sin－cos α＝(　　)

A．±  B．－

C．  D．±

解析：选D．sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝sin，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cos α＝±，故选D．

4．若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)

A．   B．

C．－  D．－

解析：选C．由题意知＝sin 2θ，

所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，

则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，

因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍)．

5．(2020·湖北八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 ＋＝，则θ＝(　　)

A．或　　　　　　　 B．或

C．或   D．或

解析：选D．因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，

则 ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝，

所以cos＝，

所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或，故选D．

6．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝________．

解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.所以tan 2α＝＝.

答案：

7．(2020·平顶山模拟)已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝________．

解析：因为sin α＝－，α∈，

所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.

答案：

8．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于________．

解析：tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)

＝·cos 10°

＝·

＝＝＝－1.

答案：－1

9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．

解：由cos β＝，β∈，

得sin β＝，tan β＝2.

所以tan(α＋β)＝

＝＝1.

因为α∈，β∈，

所以<α＋β<，

所以α＋β＝.

10．已知sin＝，α∈.求：

(1)cos α的值；

(2)sin的值．

解：(1)sin＝，

即sin αcos＋cos αsin＝，

化简得sin α＋cos α＝，①

又sin2α＋cos2α＝1，②

由①②解得cos α＝－或cos α＝，

因为α∈.所以cos α＝－.

(2)因为α∈，cos α＝－，

所以sin α＝，

则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，

所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－.

[综合题组练]

1．设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　)

A．α－β＝  B．α＋β＝

C．2α－β＝  D．2α＋β＝

解析：选A．tan α＝＝＝＝＝tan.

因为α∈，β＋∈，

所以α＝β＋，即α－β＝.

2．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A．   B．

C．或   D．或

解析：选A．因为α∈，β∈，

所以2α∈.

又0<sin 2α＝<，所以2α∈，

即α∈，所以β－α∈，

所以cos 2α＝－＝－.

又sin(β－α)＝，所以cos(β－α)＝

－＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)

＝－×－×＝.

又α∈，β∈，

所以α＋β∈，所以α＋β＝，故选A．

3．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝________．

解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.

答案：

4．(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．

解析：＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝.

答案：

5.(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？

解：连接OB，设∠AOB＝θ，

则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.

因为A，D关于原点O对称，

所以AD＝2OA＝40cos θ.

设矩形ABCD的面积为S，则

S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ

＝400sin 2θ.因为θ∈，

所以当sin 2θ＝1，

即θ＝时，Smax＝400(m2)．

此时AO＝DO＝10(m)．

故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

6．(综合型)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.

(1)求A的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．

解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.

(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，

得sin α＝，又α∈，

所以cos α＝.

由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，

得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝－.