2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第10章 第6讲　二项分布及其应用

[基础题组练]

1．(2020·湖南长沙一模)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为(　　)

A．0.75  B．0.6

C．0.52  D．0.48

解析：选A．设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)＝＝＝0.75，故选A．

2．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　)

A．0.25  B．0.30

C．0.31  D．0.35

解析：选C．设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率

P1＝P(BCD＋ACD＋ABD＋ABC)

＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，

4人使用设备的概率

P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，

故所求概率P＝0.25＋0.06＝0.31.

3．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：

若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D．由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为＝，则所求概率为C×＋＝.

4．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　)

A．0.7  B．0.6

C．0.4  D．0.3

解析：选B．由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX＝10p·(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.

5．(2020·河南中原名校联盟一模)市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选A．因为大约的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为×＝，又实体店里的家用小电器的合格率约为，所以某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为×＝，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P＝＝.

6．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．

解析：该同学通过测试的概率P＝C×0.62×0.4＋0.63＝0.432＋0.216＝0.648.

答案：0.648

7．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝________．

解析：小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n(B)＝108，4个人去的景点不同的情况有A＝4×3×2×1＝24种，即n(AB)＝24，所以P(A|B)＝＝＝.

答案：

8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________，该选手回答了5个问题结束的概率为________．

解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝0.8×0.2×0.82＋0.2×0.2×0.82＝1×0.2×0.82＝0.128.

依题意，设答对的事件为A，可分第3个正确与错误两类，若第3个正确则有AA或　A两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032 0.该选手第3个问题的回答是错误的，第1，2两个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以，所求概率为0.032 0＋0.072＝0.104.

答案：0.128　0.104

9．(2020·湖南两市联考)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．一个运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，，，他们出线与未出线是相互独立的．

(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；

(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．

解：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，

则P(D)＝1－P(　　)＝1－××＝.

(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.

P(ξ＝0)＝P(　　)＝；

P(ξ＝1)＝P(A　)＋P(　B　)＋P(　 C)＝；

P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝；

P(ξ＝3)＝P(ABC)＝.

所以ξ的分布列为

10.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列．

解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．

因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.

(2)X可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为

P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，

P(X＝1)＝C·0.6×(1－0.6)2＝0.288，

P(X＝2)＝C·0.62×(1－0.6)＝0.432，

P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.

所以X的分布列为

[综合题组练]

1．(2020·南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D．记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1，2，3)相互独立，则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1，2，3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.

2．(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，下列结论正确的是(　　)

A．事件B与事件A1不相互独立

B．A1，A2，A3是两两互斥的事件

C．P(B|A1)＝

D．P(B)＝

解析：选ABC．由题意A1，A2，A3是两两互斥事件，

P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，

P(B|A1)＝＝＝，P(B|A2)＝，

P(B|A3)＝，

P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)

＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)

＝×＋×＋×＝.

所以D不正确．

3.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，，则小球落入A袋中的概率为________．

解析：法一：由题意知，小球落入A袋中的概率为：P(A)＝1－P(B)＝1－＝.

法二：因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以小球落入A袋中的概率为C··＋C··＝.

答案：

4．已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响．

(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________；

(2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是________．

解析：(1)记“甲在第i次试跳成功”为事件Ai，“乙在第i次试跳成功”为事件Bi，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C．

法一：P(C)＝P(A11)＋P(1B1)＋P(A1B1)

＝P(A1)P(1)＋P(1)P(B1)＋P(A1)P(B1)

＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.

法二：由对立事件的概率计算公式得P(C)＝1－P(11)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.

(2)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni，所以所求概率P＝P(M1N0)＋P(M2N1)＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1)＝C×0.7×0.3×0.42＋0.72×C×0.6×0.4＝0.302 4.

答案：(1)0.88　(2)0.302 4

5．甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按行驶里程数R(单位：公里)可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如表：

若甲、乙都选C类车型的概率为.

(1)求p，q的值；

(2)求甲、乙选择不同车型的概率；

(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如表：

记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．

解：(1)甲选C为事件甲C，P甲C＝q，乙选C为事件乙C，P乙C＝，

所以根据题意：P甲C·P乙C＝q＝，

所以q＝.

又因为＋p＋q＝1.

所以p＝.

(2)甲、乙选不同车型为事件M，则M＝甲A乙BC＋甲B乙C＋甲C乙B，

所以P(M)＝×1＋×＋×＝.

(3)根据题意，X为7，8，9，10，

P(X＝7)＝×＝.P(X＝8)＝×＋×＝＝.

P(X＝9)＝×＋×＝＝.

P(X＝10)＝×＝.其分布列为

6.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？

解：(1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件1为“甲连续射击4次，全部击中目标”．由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验．

故P(1)＝C＝.

所以P(A1)＝1－P(1)＝1－＝.

所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.

(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B2，

则P(A2)＝C××＝，

P(B2)＝C×＝.

由于甲、乙射击相互独立，

故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.

所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.

(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中“为事件Di(i＝1，2，3，4，5)，

则A3＝D5D43(2 　1∪2D1∪D21)，

且P(Di)＝.

由于各事件相互独立，故

P(A3)＝P(D5)P(D4)P(3)P(2　1＋2D1＋D21)

＝×××(×＋×＋×)＝.

所以乙恰好射击5次后被终止射击的概率为.