初中数学北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系第1课时教案

这是一份初中数学北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系第1课时教案，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第1课时 圆周角和圆心角的关系





1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)


2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)











一、情境导入


在下图中，当球员在B, D, E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？





二、合作探究


探究点：圆周角定理及其推论


【类型一】 利用圆周角定理求角的度数


如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是( )


A．25° B．30° C．40° D．50°





解析：∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°.∵∠C＝eq \f(1,2)∠AOD，∴∠C＝eq \f(1,2)×50°＝25°.故选A.


方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题


【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数





如图，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，∠A＝30°，则∠B＝( )


A．150° B．75°


C．60° D．15°


解析：因为eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°.故选B.


方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题


【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合


如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上．


(1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；


(2)若AC＝eq \r(7)，CD＝1，求⊙O的半径．





解析：(1)由OD⊥AB，根据垂径定理的推论可求得eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，再由圆周角定理及其推论求∠DEB的度数；(2)首先设⊙O的半径为x，然后由勾股定理得到方程解答．


解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，∴∠DEB＝eq \f(1,2)∠AOD＝eq \f(1,2)×52°＝26°；


(2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1.∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋(eq \r(7))2＝x2，解得x＝4，∴⊙O的半径为4.


方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题


【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合


如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是eq \(CD,\s\up8(︵))的中点，求证：∠B＝∠BEC.





解析：由点B是eq \(CD,\s\up8(︵))的中点，得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．


证明：∵B是eq \(CD,\s\up8(︵))的中点，∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，∴∠BCE＝∠BAC.∵∠BEC＝180°－∠B－∠BCE，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴∠BEC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BEC.


方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题


【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合


如图，A、P、B、C是⊙O上四点，且∠APC＝∠CPB＝60°.连接AB、BC、AC.





(1)试判断△ABC的形状，并给予证明；


(2)求证：CP＝BP＋AP.


解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2)在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．


(1)解：△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是eq \(BC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∠ABC与∠APC是eq \(AC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；


(2)证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠APB＝∠ADC，,∠ABP＝∠ACD，,AP＝AD，))∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴CP＝BP＋AP.


方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．


【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合


如图，点E是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，点A在⊙O上，AE交BC于D.求证：BE2＝AE·DE.





解析：点E是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE＝∠CBE，可证得△BDE∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．


证明：∵点E是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，即eq \(BE,\s\up8(︵))＝eq \(CE,\s\up8(︵))，∴∠BAE＝∠CBE.∵∠E＝∠E(公共角)，∴△BDE∽△ABE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.


方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的问题常常考虑此定理．


三、板书设计


圆周角和圆心角的关系


1．圆周角的概念


2．圆周角定理


3．圆周角定理的推论





本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.