01 因式分解（解析版）苏教版（2019）高中数学初升高练习
展开第一讲 因式分解
【学习目标】
1.进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法
2.提高因式分解的基本运算技能
3.能熟练使用几种因式分解方法的综合运用
【知识要点】
1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2.因式分解的方法：
（1）提取公因式法:把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来.
（2）公式法:利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解.
（3）十字相乘法:对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式.
（4）分组分解法:根据多项式各项的特点,适当分组,分别变形,再对各组之间进行整体分解(先部分后整体的分解方法).
（5）换元法分解因式:是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化
3.因式分解的步骤： 一提，二用，三叉，四分组.
4.因式分解的常用公式：
（1）a2－b2=__ ；
（2）a2±2ab+b2=__；
（3）a3±b3= __；
（4）a3±3a2b+3ab2±b3=__；[来源:学科网]
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=__；
（6）x2+(a+b)x+ab= _；
（7）abx2+(ac+bd)x+cd=__.
5.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则关于x的二次三项式ax2+bx+c可分解为a(x－x1)(x－x2)；
【精讲精练】
一．提公因式法
例1 因式分解
【答案】：原式=
【解析】：提取公因式，原式=
变式
【答案】：原式=
【解析】：提取公因式，原式=
例2 计算[来源:学科网ZXXK]
【答案】：987
【解析】：原式=
变式
【答案】：0
【解析】：原式=
二．公式法
例3
【答案】：原式=
【解析】：法一：原式=
法二：原式=
变式1
【答案】：原式=
【解析】：原式=
变式2 已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足，试判断△ABC的形状。
【答案】：等边三角形[来源:学_科_网]
【解析】：两边同乘2，得：
，即
，∴
三．十字相乘法
例4 将下列各式分解因式
（1） （2）
【答案】：（1）原式=
（2）原式=
【解析】：十字相乘。
变式 （1） （2）
【答案】：（1）原式=
（2）原式=
【解析】：十字相乘
四．分组分解法
例5 将下列各式分解因式
（1） （2）
【答案】：（1）原式=
（2）原式=
【解析】：（1）原式=
（2）原式=
变式（1） （2）
【答案】：（1）原式=
（2）原式=
【解析】：（1）原式=
（2）原式=
五． 换元法
例6 将下列各式分解因式
（1）
【答案】：原式=
【解析】：十字相乘
（2）
【答案】：原式=
【解析】：原式=
变式 （1）x6－7x3－8 （2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
【答案】：（1）原式=
（2）原式=
【解析】：（1）原式=
（2）原式=[来源:学科网]
【思维拓展】
1.设a<b<c<d，若x=(a＋b)(c＋d)，y=(a+c)(b+d)，z＝(a+d)(b+c)，判断x、y、z的大小关系.
【答案】：
【解析】：
[来源:Zxxk.Com]
综上：
【课外作业】
1．下列计算正确的是（ ）
A．(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x B．(x+y)(x2+y2)=x3+y3
C．(-4a-1)(4a-1)=1-16a2 D．(x-2y)2=x2-2xy+4y2
【答案】：C
【解析】：完全平方公式
2．将多项式分解成因式的积，结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】：D
【解析】：原式
3．要是二次三项式在整数范围内可因式分解，则正整数的取值可以有（ ）
A．2个 B．3个 C．5个 D．6个
【答案】：B
【解析】：6=1+5,6=2+4，6=3+3，∴
4．已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=3，则(a+1)(b+1)(c+1)= ．
【答案】：8
【解析】：
即
∴
5．因式分解=____________．
【答案】：
【解析】：原式=
