04 集合的概念（解析版）苏教版（2019）高中数学初升高练习
展开第四讲 集合的概念
【学习目标】
l.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择不同的集合语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高分析问题和解决问题的能力，培养应用意识.
【知识要点】
1.集合的概念：我们把研究对象统称元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).
2.集合中元素的特性：
（1）确定性：集合的元素，必须是确定的.任何一个对象都能明确判断出它是或者不是
某个集合的元素.
（2）互异性:集合中的任意两个元素都是不相同的,也就是同一个元素在集合中不能重
复出现.
（3）无序性:集合与组成它的元素顺序无关.
3.集合与元素的关系：若是集合A的元素，就说属于A，记作；若不是集合A的元素，就说不属于A，记作.
4.集合的表示法：
（1）列举法:即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为，适用于有限集或元素间存在规律的无限集。
（2）描述法:即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为，既要关注代表元素x，也要把握其属性，适用于无限集。
（3）图示法:韦恩(英国逻辑学家，John．Venn)图(几何方法)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
5.常用的数集及其记法：
非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合。记作．
正整数集：非负整数集内排除0的集。记作或．
整数集：全体整数的集合。记作Z．
有理数集：全体有理数的集合。记作Q．
实数集：全体实数的集合。记作R．
6.集合的分类：[来源:学&科&网]
①按集合中所含元素的个数分类
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。[来源:学.科.网][来源:学,科,网Z,X,X,K]
空集：不含任何元素的集合。记作，如：。
②按集合中元素的性质分类
数集：集合中元素是数值。如，
点集：集合中的元素是点。如，
图形集等等
【精讲精练】
一．集合的概念
例1 观察下列对象：
（1）1～20以内所有的质数；
（2）某汽车厂2013年生产的所有汽车；
（3）2014年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；
（4）所有的正方形；
（5）到直线的距离等于定长d的所有的点;
（6）方程的所有实数根；
（7）新华中学2013年9月入学的高一学生的全体.[来源:Zxxk.Com]
这些例子都能组成集合吗？它们有什么共同的特征？
【答案】：能
【解析】：相同特征元素一起
例2 问题1 “我们班中高个子的同学”“接近0的数”“咱们必修1教材中所有的难题能否分别组成一个集合？为什么？
【答案】：不能
【解析】：不确定
问题2 一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、衬衣、闹钟共计4个品种，第二批进货是MP4、皮鞋、水杯、衬衣、台灯共计5个品种，问一共进了多少个品种的货？是不是4+5=9(种)呢？
【答案】：7
【解析】：4+5-2=7（种）
问题3 我们这个班重新调整座次之后，是否还是原来的班集体？
【答案】：是
【解析】：班级人员没有变化
变式 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）某服装店里出售的好看的衣服组成一个集合；
（2）这些数组成的集合有5个元素；
（3）由a,b,c组成的集合与由b,a,c组成的集合是同一集合
【答案】：（1）不对；（2）不对；（3）对
【解析】：（1）好看的衣服无法确定
（2）相同元素：；
二．元素与集合的关系
例3 用适当的符号填空：已知，，则有：
17 A； －5 A； 17 B.
【答案】：
【解析】：在集合中，不在集合中，在集合中
变式 用符号“∈”或“∉”填空：
（1）；（2）（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）
【答案】：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
【解析】：自然数集；整数集；有理数集；实数集
例 4 若，求实数的值
【答案】：
【解析】：当，即时，集合：
当，即时，集合：
变式 已知，求实数的值.
【答案】：
【解析】：当，即时，若，集合：（舍）；若，集合：
当，即时，集合：（舍）
当，即时，舍
三．集合的表示方法
例5 用列举法表示下列集合
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合；
（3）由以内的所有质数组成的集合.
【答案】：（1）；（2）；（3）
【解析】：将满足条件元素列举出来
变式 用列举法表示下列集合
（1）能被3整除且小于10的正数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
【答案】：（1）；（2）
【解析】：将满足条件元素列举出来
例6 试分别用列举法和描述法表示下列集合
（1）方程所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【答案】：（1）列举法：
描述法：
（2）列举法：
描述法：
【解析】：（1）列举法：将满足条件元素列举出来
（2）描述法：满足性质表示出来
变式 选择适当的方法表示下列集合：
（1）使y=有意义的实数x的集合；
（2）坐标平面上第一、第三象限内点的集合；
（3）；
（4）.
【答案】：（1）描述法：
（2）描述法：
（3）列举法：
（4）列举法：
例7 下列各组集合中，每个集合的含义是否相同？为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）；
（5）.
【答案】：（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是；（5）不是
【解析】：（1）和相同，是两数集；和不相同，是两直角坐标点集
（2）是数集；是直角坐标系点集
（3）描述法表示的元素不同，前面集合表示，后面集合表示
（4）前后两个集合均表示奇数集合
（5）三个集合表示的元素不同，前两个表示数集，最后一个表示点集
变式 下列集合表示同一集合的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】：
【解析】：
【思维拓展】[来源:Zxxk.Com]
1. (山东)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A }中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
【答案】：
【解析】：
【课外作业】
1.有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为或；（3）方程的所有解的集合可表示为；（4）集合是有限集。 其中正确的说法是（ ）
A．只有（1）和（4） B．只有（2）和（3）
C．只有（2） D．以上四种说法都不对
【答案】：
【解析】：（1）表示数，表示集合
（2）集合中元素具有无序性
（3）集合中元素具有互异性，
（4）是无限集
2.下列各组中的两个集合M和N, 表示同一集合的是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
【答案】：
【解析】：中均是这三个元素
3.已知集合中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，那么此三角形一定不是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】
【解析】：集合中元素具有互异性
4.设a,b是非零实数，那么可能取的值组成的集合是________.
【答案】：
【解析】：当时，；当时，；当异号时，
5.已知集合,试用列举法表示集合A.
【答案】：
【解析】：当为一元二次方程时，有唯一实数根
，即时有唯一解。
当为一元一次方程时，
