【数学】海南省文昌中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题
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第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.若命题,则命题的否定是( )
A. B.
C. D.
3.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b-c
D.-a-b+c
4.已知点是椭圆上的一点,,是焦点,若取最大时,则的面积是( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线C:(a>0,b>0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( )
A. B. C.a D.b
6.已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.已知,则“”是“”( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
9.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为10,则点P的坐标为( )
A.(8,8) B.(8,-8) C.(8,±8) D.(-8,±8)
10.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,P分别是棱CC1,BC,A1B1上的点,若∠B1MN=90°,则∠PMN的大小是( )
A.等于90°
B.小于90°
C.大于90°
D.不确定
11.在正方体中,点E是棱的中点,点F是线段上的一个动点.有以下三个命题:
①异面直线与所成的角是定值;
②三棱锥的体积是定值;
③直线与平面所成的角是定值.
其中真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
12.已知是抛物线的焦点,曲线是以为圆心,以为半径的圆,直线与曲线从上到下依次相交于点,则
( )
A.16 B.4 C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:每题5分,满分20分。
13.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且=++t,若P,A,B,C四点共面,则实数t=________.
14.已知椭圆:+x2=1,过点P的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为________.
15.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-6x+5=0所截得的弦的长为2,则该双曲线的离心率等于________.
16.已知圆,抛物与相交于两点,,则抛物线的方程为__________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)已知p:-1≤4x-3≤1;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
18.(12分)如图,在四棱锥中,底面
是矩形,平面,,.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)若点分别在上,且平面,
试确定点的位置
19.(12分)已知椭圆的中心为原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,长轴长为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过的直线与椭圆交于点,若,求的面积.
20.(12分)如图,在三棱锥中,平面平面,为等边三角形,,是的中点.
(1)证明:;
(2)若,求二面角
平面角的余弦值.
21.(12分)已知抛物线的焦点为,斜率为的直线与的交点为,与x轴的交点为.
(1)若,求的方程;
(2)若,求.
22.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=,求原点O到直线l的距离的取值范围。
参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分。
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | C | C | B | D | D | A | C | C | A | B | A |
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:每题5分,满分20分。
13. 14.9x+y-5=0 15. 16.
三、解答题:本大题共6小题,共70分。
17.解:∵≤x≤1,即p:≤x≤1.
由x2-(2a+1)x+a2+a≤0,
得(x-a)[x-(a+1)]≤0,∴a≤x≤a+1,即q:a≤x≤a+1.
∵p是q的充分不必要条件,∴pq,qp.
∴{x|≤x≤1}∈{x|a≤x≤a+1}.
故有,解得0≤a≤.
18.解:(1)由题意知,AB,AD,AP两两垂直.
以为正交基底,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则
从而
设平面PCD的法向量
则 即
不妨取则.
所以平面PCD的一个法向量为.
设直线PB与平面PCD所成角为所以
即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
(2)设则
设则而
所以.
由(1)知,平面PCD的一个法向量为,
因为平面PCD,所以∥.
所以 解得,.
所以M为AB的中点,N为PC的中点.
19.解:(1)∵
所以,椭圆方程为
(2)设MN的方程为
即 ,
又 到MN的距离为:
所以,.
20.解:(1)如图,取中点,连接、,
∵为等边三角形,为的中点,
. (2分)
是的中点,为的中点,∴,
,. (4分)
,平面,
平面,. (6分)
(2)由(1)知,,
∵平面平面,平面平面,平面,
平面,则、、两两垂直,(8分)
以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则、、、
、.
设平面的法向量为,
,.
由 ,得 ,
令,得,,
∴平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,,
由 ,得 ,取,得,.
∴平面的一个法向量为. (11分)
则.
结合图形可知,
二面角的平面角为锐角,其余弦值为. (12分)
21.解:(1)设直线.
由题设得,故,由题设可得.
由 ,可得,则.
从而,得.所以的方程为.
(2)由可得.由 ,可得.
所以.从而,故.
代入的方程得.故.
22.解:(1)由题知e==,2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1。
(2)设M(x1,y1),N(x2, y2),联立
得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
依题意,Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,
化简得m2<4k2+1①,
x1+x2=-,x1x2=,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
若kOM·kON=,则=,
所以4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,
所以(4k2-5)·+4km·+4m2=0,
即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=②,
由①②得0≤m2<,<k2≤,
因为原点O到直线l的距离d=,
所以d2===-1+,又<k2≤,
所以0≤d2<,所以原点O到直线l的距离的取值范围是。