【数学】海南省嘉积中学2019-2020学年高二上学期第三次月考试题
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高二上学期第三次月考数学试题
注意事项：
1、把试题卷的答案写在答题卷上，并在方框内答题，答在框外不得分；
2、禁止考生使用计算器作答.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，，，则的值是( )
A．1 B． C． D．
2.满足不等式，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
3.已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A． B． C． D．
4.倾斜角为的直线经过双曲线的右焦点，与双曲线交于、两点，则( )
A．8 B． C．4 D．
- 已知椭圆的左右焦点分别是、，椭圆上一点使得，则的面积是( )
A．2 B． C．1 D．
6.函数的图象大致为( )
A． B．
C． D．
7.过坐标原点且斜率为的直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
8.已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于点，于点，若四边形的面积为，则准线的方程为 ( )
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是( )
A．
B．
C．
D．直线，，是的充分不必要条件
10.方程表示圆的方程，则实数可以是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11.对非零平面向量，，，下列说法正确的是 ( )
A．若，则 B．若，则 不可能为钝角
C．若，则 D．，，两两之间的夹角可以是钝角
12.已知方程，其中，则该方程表示的图形有( )
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．直线
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知双曲线（）的一条渐近线方程是，则该双曲线的离心率为__________
14．已知数列满足，，则______时，取得最小值，最小值是__________
15．有兄妹二人，当哥哥年龄是妹妹今年年龄时，妹妹6岁。当妹妹是哥哥今年年龄时，哥哥30岁，问哥哥今年年龄是______岁，妹妹今年年龄是_________岁.
16．已知抛物线的准线方程为，焦点为，，，为该抛物线上不同的三点，，，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为______
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分12分)已知数列，，且．
（1）求证：是等比数列；
（2）设，求的前项和．
18.(本小题满分12分) 如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.(本小题满分12分)某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧和线段、两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为、米，圆心角为（弧度）．
（1）若，米，米，求花坛的面积；
（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为元/米，弧线部分的装饰费用为元/米，当总装饰费用为元，问线段的长度为多少时，花坛的面积最大？
20.(本小题满分12分) 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点坐标是，求直线的方程.
21.(本小题满分12分) 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由.
- (本小题满分10分)
（1）已知双曲线（）的离心率为2，且焦点坐标分别是，，求其标准方程；
（2）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，焦点，抛物线上一点到的距离是3，求点的坐标.
参考答案
一、1-8、DADAC ABC
二、9-12、AD CD BD ABCD
三、13、2 14、5； 15、14；22 16、
四、17、
（2）
所以前项和是
18、证明：（1）取中点，连结，
∵，∴， ，
∵平面，平面平面，
平面平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵是等边三角形，∴，
∵平面，平面平面，平面平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
解：（2）由（1）得平面，∴，
又，
分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则．
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19、(1)设花坛的面积为平方米.
答：花坛的面积为；
(2) 弧的长为米，弧的长为米，线段的长为米，
由题意知，
即 （*）
，
由（*）式知， ，
记则，
所以= ，
当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大.
答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.
20、解：（1）
（2）直线的方程是
21、（I）由题意可知：a+c＝，×2c×b＝1，且a2＝b2+c2，
∴a2＝2，b2＝1，c2＝1，∴所求椭圆的方程为：.
（II）设直线L的方程为：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）
联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4kx+2（k2﹣1）＝0
则
∴对于任意的为定值．
22、（1）双曲线（）
双曲线的离心率为2，且焦点坐标分别是，
，所以，
双曲线方程
（2）抛物线的焦点
抛物线是，
到的距离是3，所以到准线距离是3
所以纵坐标是2
，
点的坐标是或
