2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第七章第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题

第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题


1．一元二次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分

2．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

[小题体验]
1．(2018·宿迁期末)若点A(1,1)，B(2，－1)位于直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________．
解析：∵点A(1,1)，B(2，－1)位于直线x＋y－a＝0的两侧，
∴(1＋1－a)(2－1－a)＜0，即(2－a)(1－a)＜0，
则(a－1)(a－2)＜0，解得1＜a＜2.
答案：(1,2)
2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为______．

解析：平面区域的边界线方程为＋＝1，即x＋y－1＝0.所以平面区域满足不等式是x＋y－1＞0.
答案：x＋y－1＞0
3．(2018·南京高三年级学情调研)已知实数x，y满足条件则z＝3x－2y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，当z＝3x－2y经过点A(4,3)时，z取得最大值，所以zmax＝3×4－2×3＝6.

答案：6

1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c＞0(a＞0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
3．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
[小题纠偏]
1．已知实数x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值为________．
解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y＝2x－z，将直线y＝2x进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z最大，最大值为5.
答案：5
2．实数x，y满足使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为________．
解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，所以－a＝1，a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0.
答案：0

　
[题组练透]
1．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k＝________.
解析：先作出不等式组对应的平面区域，如图．
要使阴影部分为直角三角形，
当k＝0时，此时三角形的面积为×3×3＝≠1，所以不成立．
当k＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1.
答案：1
2．(易错题)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a＝______.
解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．
答案：－1
3．(2018·广州五校联考)设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为________．
解析：如图，画出可行域．易得A，B(0,2)，C(0,4)，
所以可行域D的面积为×2×＝.

答案：
[谨记通法]
确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．
(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．
　
[锁定考向]
线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．
常见的命题角度有：
(1)求线性目标函数的最值；
(2)求非线性目标函数的最值；
(3)线性规划中的参数问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：求线性目标函数的最值
1．(2018·苏北四市一模)设实数x，y满足则3x＋2y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，令z＝3x＋2y，则y＝－x＋，故当目标函数z＝3x＋2y经过点A(1，0)时，z取得最大值，故zmax＝3.
答案：3
2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：画出不等式组
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得即A(－1,1)．
所以zmin＝－5.
答案：－5
角度二：求非线性目标函数的最值
3．设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是________．
解析：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．
答案：[1,4]
角度三：线性规划中的参数问题
4．(2018·苏州质检)已知x，y满足若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．
解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由解得
所以2×3－1－m＝0，m＝5.
由图知，平移l经过B点时，z最小，
所以当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.
答案：5
5．当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax＋y≤4恒成立，结合图可知，a≥0且在A(1,0)处取得最小值，在B(2,1)处取得最大值，所以a≥1，且2a＋1≤4，故a的取值范围为.
答案：
[通法在握]
1．求目标函数的最值3步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
[提醒]　注意转化的等价性及几何意义．



[演练冲关]
1．已知点P(x，y)的坐标满足则当3x＋2y取最大值时，点P的坐标为________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图所示．
作出直线3x＋2y＝0，平移该直线，当直线经过x－3y＝1与x＋y＝2的交点时，3x＋2y取得最大值．
联立解得
所以点P的坐标为.
答案：
2．(2018·连云港质检)已知实数x，y满足若z＝kx－y的最小值为－5，则实数k＝________.
解析：不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z取得最小值时，直线y＝kx－z在y轴上的截距最大，当k≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，zmin＝k－2＝－5，k＝－3适合；当k＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，zmin＝－2k＋1＝－5，k＝3适合，故k＝±3.
答案：±3
3．(2018·无锡质检)设实数x，y满足则的最小值是________．
解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，

而表示区域内一点(x，y)与点D(1,1)连线的斜率，
所以当x＝，y＝时，有最小值为－.
答案：－
　
[典例引领]
某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时，漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润为________万元．
解析：设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，
则得约束条件z＝1 500x＋2 000y.

作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3x＋4y＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值．由得即P(200，900)，所以zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为210万元．
答案：210
[由题悟法]
1．解线性规划应用题3步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．求解线性规划应用题的3个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
[即时应用]
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，求租金最少多少元？
解：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，
则线性约束条件为
目标函数为z＝1 600x＋2 400y.画出可行域如图中阴影部分所示，

可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
故租金最少为36 800元．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·江阴期中)不等式组所表示的平面区域的面积是________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中△ABC所示．
由得即A(－1,1)．
由得即B(3,5)．
由得即C(3，－3)．
则BC＝5－(－3)＝8，点A到直线x＝3的距离d＝3－(－1)＝4，
故S△ABC＝×8×4＝16.
答案：16
2．(2018·南京、盐城一模)已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，作出直线y＝x，则当目标函数y＝x－z过点C(1,4)时，zmin＝－3.

答案：－3
3．(2019·泰州中学高三学情调研)已知点P(x，y)满足则z＝的最大值为________．
解析：作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．z＝表示过平面区域的点(x，y)与(0,0)的直线的斜率，由图知当直线过点A时斜率最大，由得A(1,3)，显然直线过点A(1,3)时，z取得最大值，zmax＝3.
答案：3
4．(2019·四川德阳月考)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最大值为________．
解析：由约束条件作出可行域如图中阴影部分，
由解得则B(4,5)，将目标函数z＝2x＋3y变形为y＝－x＋.
由图可知，当直线y＝－x＋过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，为2×4＋3×5＝23.

答案：23
5．(2018·昆山期中)若点(a,1)在直线y＝－2x＋2的下方，则实数a的取值范围是________．
解析：因为直线y＝－2x＋2下方的点的坐标满足不等式y＜－2x＋2，
又点(a,1)在直线y＝－2x＋2的下方，所以1＜－2a＋2，解得a＜.
答案：
6．(2018·昆明七校调研)已知实数x，y满足则z＝x＋3y的最小值为________．
解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0，如图，平移直线y＝－，当直线经过点(4，－4)时，在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8.
答案：－8
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1．(2018·苏州期末)已知实数x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，

作出直线2x－y＝0，平移直线2x－y＝0，当直线过点A时，z＝2x－y取得最大值，
联立得A(3,1)，所以zmax＝5.
答案：5
2．(2019·宿迁调研)已知点P(x，y)在不等式组所表示的平面区域内运动，则 的最小值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.的几何意义是可行域内的点与坐标原点O的距离，由图知，点O(0,0)到直线x＋2y－2＝0的距离是的最小值，其最小值为＝.
答案：
3．(2018·徐州二模)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中△ABC所示，解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，又直线y＝kx＋过点C且把△ABC的面积平分，所以直线y＝kx＋过AB的中点D，所以k＝＝.
答案：
4．(2018·湖南东部六校联考)实数x，y满足(a＜1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a＝______.
解析：如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax＝3，所以12a＝3，即a＝.
答案：
5．(2019·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如表：

维生素A(单位/kg)
维生素B(单位/kg)
甲
3
5
乙
4
2

分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，则混合物质量的最小值为________kg.
解析：由题意，设混合物中甲为x kg，乙为y kg，混合物为z＝x＋y，
则得约束条件作出其平面区域如图所示，
平移直线x＋y＝0，可知当直线经过点A时，z取得最小值．由解得x＝20，y＝10，即A(20,10)，所以zmin＝x＋y＝30.
答案：30
6．已知实数x，y满足约束条件则z＝5－(x2＋y2)的最大值为________．
解析：作出满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，求目标函数z＝5－(x2＋y2)的最大值，即求的最小值．由几何意义知就是求可行域内的点P(x，y)到原点距离的最小值．易知点O到直线x＋y－3＝0的距离最短，为，所以zmax＝5－2＝.
答案：
7．(2019·靖江模拟)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．

解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，将z＝y－ax化为y＝ax＋z，z相当于直线y＝ax＋z的纵截距，
由题意可得，当y＝ax＋z与2x－y＋2＝0或与x＋y－2＝0平行时符合题意，
故a＝2或－1.
答案：2或－1
8．(2018·启东中学测试)已知变量x，y满足约束条件若≤恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，表示区域内的点(x，y)与定点A(2,0)连线的斜率k，由图易知BC与y轴重合时，|k|≤kAC＝，此时a＝0，当BC向右移动时，|k|≤kAC＜，此时a≤1，综上，a∈[0,1]．
答案：[0,1]
9．已知x，y满足条件
(1)求u＝x－2y的最大值和最小值；
(2)求z＝的最大值和最小值．
解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
(1)由得点B的坐标为(－1，－6)，
由得点C的坐标为(－3,2)，
平移直线u＝x－2y可知，直线过C点时，z取最小值，过B点时，z取最大值．
所以umin＝－3－2×2＝－7，
umax＝－1－2×(－6)＝11.
(2)z＝＝，求z的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x，y)与点(－5,0)连线斜率k的最大值和最小值．设点M的坐标为(－5,0)，
由(1)知点B的坐标为(－1，－6)，点C的坐标为(－3,2)，
所以kmax＝kMC＝＝1，
kmin＝kMB＝＝－，
所以的最大值是1，最小值是－.
10．(2019·苏北四市调研)已知x，y满足约束条件求：
(1)z＝x＋2y－4的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(3)z＝的取值范围．
解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，并求出顶点坐标分别为A(3,1)，B(1,3)，C(7，9)．
(1)作出直线x＋2y＝0，平移该直线，当直线经过点C时，
z取得最大值，zmax＝7＋2×9－4＝21.
(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，
由图知点M到直线x－y＋2＝0的距离的平方为所求z的最小值，所以zmin＝2＝.
(3)z＝＝2·的几何意义是可行域内的动点P(x，y)与定点D连线斜率的2倍．
由图象可知，kDB＝，kDA＝，
即≤k≤，所以≤z≤，
故z的取值范围是.
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1．(2018·无锡期末)已知变量x，y满足目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则c的值为________．


解析：作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示，
作出直线3x＋y＝0，平移该直线，当直线经过点A时，z取得最小值．
联立解得A(2，－1)，代入y＝2x－c，得c＝5.
答案：5
2．(2018·南通调研)已知变量x，y满足若z＝x2＋y2，则z的取值范围是________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
联立得C(1,1)．
联立得B(5,2)．
z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝OC＝，dmax＝OB＝，故z的取值范围是[2,29]．
答案：[2,29]
3．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，
则
目标函数为z＝3x＋2y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．

把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A，所以zmin＝3×＋2×3＝.
所以当使用甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)时，费用最省．