2020届高考数学一轮复习：课时作业74《绝对值不等式》(含解析) 练习

课时作业74　绝对值不等式

1．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.

(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.

解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.

因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)当x∈R时，

f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，

当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①

当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．

当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，

解得a≥2.

所以a的取值范围是[2，＋∞)．

2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)>1化为

|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，

解得1≤x<2.

所以f(x)>1的解集为.

(2)由题设可得，f(x)＝

所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.

由题设得(a＋1)2>6，故a>2.

所以a的取值范围为(2，＋∞)．

3．(2019·山西八校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋3|.

(1)解不等式f(x)≥6；

(2)记f(x)的最小值是m，正实数a，b满足2ab＋a＋2b＝m，求a＋2b的最小值．

解：(1)当x≤－时，f(x)＝－2－4x，

由f(x)≥6，解得x≤－2；

当－<x<时，f(x)＝4，显然f(x)≥6不成立；

当x≥时，f(x)＝4x＋2，由f(x)≥6解得x≥1.

∴f(x)≥6的解集是{x|x≤－2或x≥1}．

(2)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋3|≥|(2x－1)－(2x＋3)|＝4，

即f(x)的最小值为4，则m＝4.

∵a·2b≤2，

∴由2ab＋a＋2b＝4可得4－(a＋2b)≤2，

解得a＋2b≥2－2(当且仅当a＝2b时等号成立)，

∴a＋2b的最小值为2－2.

4．(2019·河南豫南九校联考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|.

(1)若关于x的不等式f(x)<a有解，求实数a的取值范围；

(2)若关于x的不等式f(x)<a的解集为，求a＋b的值．

解：(1)不等式等价于a>f(x)min，f(x)＝绘制函数f(x)的图象如图所示，观察函数的图象，可得实数a的取值范围是(4，＋∞)．

(2)由题意可得x＝是方程|x＋1|＋|x－3|＝a的解，据此有a＝＋＝5，

求解绝对值不等式|x＋1|＋|x－3|<5可得：－<x<.

故b＝－，a＋b＝5－＝.

5．(2019·天星联考)已知函数f(x)＝(m∈R)，g(x)＝|x＋1|，且不等式g＋≤3的解集为[－2,3]．

(1)求实数m的值；

(2)若存在实数k，使得f(k)＋1≤T－f(－k)成立，求实数T的取值范围．

解：(1)由不等式g＋≤3，可得|2x－m|＋m≤6，得|2x－m|≤6－m，

∴m－6≤2x－m≤6－m，即m－3≤x≤3，

∴m－3＝－2，∴m＝1.

(2)由(1)知f(x)＝，则存在实数k，使得f(k)＋1≤T－f(－k)，可转化为存在实数k，使得|2k－1|＋|2k＋1|＋2≤T，

设h(k)＝|2k－1|＋|2k＋1|＋2，

则h(k)＝

数形结合知函数h(k)的最小值是4，

故实数T的取值范围为[4，＋∞)．

6．(2019·洛阳统考)已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|，a∈R，g(x)＝x2－2x－4＋.

(1)若f(2a2－1)>4|a－1|，求实数a的取值范围；

(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．

解：(1)∵f(2a2－1)>4|a－1|，

∴|2a2－2a|＋|a2－1|>4|a－1|，

∴|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)>0，

∴|2a|＋|a＋1|>4且a≠1.

①若a≤－1，则－2a－a－1>4，∴a<－；

②若－1<a<0，则－2a＋a＋1>4，

∴a<－3，此时无解；

③若a≥0且a≠1，则2a＋a＋1>4，∴a>1.

综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)．

(2)∵g(x)＝(x－1)2＋－5≥

2－5＝－1，显然可取等号，

∴g(x)min＝－1.

于是，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需f(x)min≤1.

又f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2，

∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，

∴0≤a≤2，即a∈[0,2]．

7．(2019·石家庄质检)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|.

(1)当a＝1时，求f(x)≤2的解集；

(2)若g(x)＝4x2＋ax－3.当a>－1且x∈时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝.

当x<－时，f(x)≤2无解；

当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为

{x|－≤x≤}；

当x>时，f(x)≤2无解．

综上所述，f(x)≤2的解集为{x|－≤x≤}．

(2)当x∈时，

f(x)＝(a－2x)＋(2x＋1)＝a＋1，

所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x)．

又g(x)＝4x2＋ax－3在上的最大值必为g、g之一，

则，即，即－≤a≤2.

又a>－1，所以－1<a≤2，所以a的取值范围为(－1,2]．

8．(2019·邯郸模拟)已知函数f(x)＝|x－2|.

(1)求不等式f(x)≤5－|x－1|的解集；

(2)若函数g(x)＝－f(2x)－a的图象在上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围．

解：(1)由f(x)≤5－|x－1|，

得|x－1|＋|x－2|≤5，

所以或或

解得－1≤x≤4，故不等式f(x)≤5－|x－1|的解集为[－1,4]．

(2)设h(x)＝－f(2x)＝－|2x－2|

＝

当<x<1时，

h(x)＝＋2x－2≥2－2＝2－2，

当且仅当＝2x即x＝时取等号，

所以h(x)min＝2－2.

当x≥1时，h(x)＝－2x＋2递减，

画出函数h(x)的草图，如下：

原问题等价于h(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，

结合h(x)的图象可得，a∈(2－2,1)．