2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.11.2　利用导数研究函数的极值、最值

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第二课时　利用导数研究函数的极值、最值

知识体系

必备知识

1.函数的极值与导数的关系

(1)函数的极小值与极小值点.

若函数f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,

f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.

(2)函数的极大值与极大值点.

若函数f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,

f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.

2.函数的最值与导数的关系

(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件.

如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤.

①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

注意点:函数极值的三个注意点

(1)已知函数在某点取极大值或极小值求参数的值,得出参数的值后一定要检验在该极值点是否取到极大值或极小值.

(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么函数y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.

(3)函数y=f(x)可导,则f′(x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.

基础小题

1.已知定义域为R的函数f(x),若函数y=的图象如图所示,给出下列命题:

①f′(1)=f′(-1)=0;

②函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增;

③当x=1时,函数f(x)取得极小值;

④方程xf′(x)=0与f(x)=0均有三个实数根.

其中正确命题的个数为 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选C.由题意可知:①f′(1)=f′(-1)=0,正确;

②在区间(-∞,-1)上f′(x)>0,所以函数f(x)单调递增,正确;

③x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)是减函数,x∈(1,+∞)时f′(x)>0,函数f(x)是增函数,当x=1时,

函数f(x)取得极小值,正确;

④方程f(x)=0可能没有实数根.如图:

所以不正确.

2.设函数f(x)=ex-2x,则 (　　)

A.x=为f(x)的极小值点

B.x=为f(x)的极大值点

C.x=ln 2为f(x)的极小值点

D.x=ln 2为f(x)的极大值点

【解析】选C.由函数f(x)=ex-2x,得f′(x)=ex-2,

令f′(x)=0,解得x=ln 2,

又x<ln 2时,f′(x)<0,x>ln 2时,f′(x)>0,

所以f(x)在x=ln 2时取得极小值.

3.已知a为函数f(x)=x3-3x的极小值点,则a= (　　)

A.-1 B.-2 C.2 D.1

【解析】选D.f′(x)=3x2-3,令f′(x)>0,解得:x>1或x<-1;令f′(x)<0,解得:-1<x<1,故f(x)在(-∞,-1)上递增,在(-1,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故x=1是极小值点,故a=1.

4.函数f(x)=x+2cosx在区间上的最小值为________. 

【解析】f′(x)=1-2sinx,因为x∈,

所以sinx∈[-1,0],所以-2sinx∈[0,2].

所以f′(x)=1-2sinx>0在上恒成立,

所以f(x)在上单调递增.

所以f(x)min=f=-+2cos=-.

答案:-

5.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为,则a等于________. 

【解析】y′=-2x-2,令y′=0得x=-1.

当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.

当-1<a<2时,f(x)在[a,2]上单调递减,最大值为f(a)=-a2-2a+3=,

解得a=-或a=-(舍去).

答案:-

6.已知函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点,则实数a的取值范围是________. 

【解析】f′(x)=3x2+a,

令f′(x)=0,所以a=-3x2,

所以a<0时,存在两个极值点.

答案:a<0

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