2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第2章第10节　函数模型及其应用

第十节　函数模型及其应用

[最新考纲]　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．



1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．
(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．
(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．
2．三种函数模型之间增长速度的比较
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
因n而异
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
3.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，
当x＜0时，x＝－时取最大值－2.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点．(　　)
(2)幂函数增长比直线增长更快．(　　)
(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　)
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材改编
1．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　)

(注：结余＝收入－支出)
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
D　[由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．]
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x　 B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2 x
D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.]
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
18　[利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．
3　[设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时，y最大．]


考点1　用函数图象刻画变化过程
　判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
　1.(2019·遵义模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12)．不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　)

A　　B　　　C　　　D
B　[设AD的长为x m，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a)．画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B.]
2．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是(　　)

A　　　B　　C　　　D
B　[由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选B.]
3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D　[根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]
　准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键．
考点2　应用所给函数模型解决实际问题
　求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当0＜x＜8时，
L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜8时，L(x)＝－(x－6)2＋9.
此时，当x＝6时，
L(x)取得最大值L(6)＝9万元，
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
　解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x∈(0，＋∞)．
　一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
16　[当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－b t＝a，e－b t＝＝(e－8 b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.]
考点3　构建函数模型解决实际问题
　构建函数模型解决实际问题的步骤

　构造二次函数、分段函数模型
　国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解]　(1)设每团人数为x，由题意得0＜x≤75(x∈N*)，每张飞机票价格为y元，
则y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12 000.
又S＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21 000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．
　解题过程——谨防2种失误
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解．
　构造y＝x＋(a＞0)模型
　某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
[解]　设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．
从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥2＋357＝417，
当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
　利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件．
　构建指数函数、对数函数模型
　(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%
(2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为(提示：1.0653≈1.208)(　　)
A．93.8万亿元 B．99.9万亿元
C．97万亿元 D．106.39万亿元
(1)C　(2)B　[(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故选C.
(2)由题意可知，2020年我国国内年生产总值约为：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(万亿元)．故选B.]
　(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
　1.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
8　[设至少过滤n次才能达到市场要求，
则2%n≤0.1%，即n≤，
所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.]
2．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
[解]　(1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
∴y＝
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6＜x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.
∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．