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所属成套资源：2021高考数学理科人教A版一轮复习学案作业
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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第二章2.3函数的奇偶性与周期性
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§2.3 函数的奇偶性与周期性
最新考纲
考情考向分析
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等难度.
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．
2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．
(2)f (x＋a)＝(a≠0)．
(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．
提示 (1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.
3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( × )
(2)如果函数f (x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f (x)＋g(x)是偶函数．( √ )
(3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．( √ )
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
题组二 教材改编
2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号)
①f (x)＝2x4＋3x2；
②f (x)＝x3－2x；
③f (x)＝；
④f (x)＝x3＋1.
答案 ②③
3．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x(1＋x)，则f (－1)＝________.
答案 －2
解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x)为奇函数，
∴f (－1)＝－f (1)＝－2.
4.设奇函数f (x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当00；当20.
综上，f (x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题组三 易错自纠
5．函数f (x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)
答案 奇
解析 由得－1
∴f (x)＝，∴f (－x)＝＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数．
6．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)，且当x∈时，f (x)＝－x3，则f ＝________.
答案
解析 由f (x＋3)＝f (x)知函数f (x)的周期为3，
又函数f (x)为奇函数，
所以f ＝f ＝－f ＝3＝.
函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]；
(2)f (x)＝ln ；
(3)f (x)＝＋(a>0，且a≠1)；
(4)f (x)＝
解 (1)由于f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f (x)的定义域为(－2,2)，
f (－x)＝ln ＝－ln ＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
(3)∵f (x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
f (－x)＝＋＝＋
＝＋＝－＋
＝－1＋＋
＝－＝－f (x)．
即f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2 (1)(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x)＝ln(－x)＋1，f (a)＝4，则f (－a)＝________.
答案 －2
解析 ∵f (x)＋f (－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f (a)＋f (－a)＝2，∴f (－a)＝－2.
(2)若函数f (x)＝在区间[－4,4]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为________．
答案 6
解析 f (x)＝3－，x∈[－4,4]，
令h(x)＝－，则h(x)为奇函数，
∴h(x)max＋h(x)min＝0，
∴f (x)max＋f (x)min＝6，即p＋q＝6.
命题点3 函数的对称性
例3 已知函数f (x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，且函数y＝f (x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f (π)
解析 ∵y＝f (x＋2)为偶函数，
∴f (－x＋2)＝f (x＋2)，
∴f (3)＝f (1)，f (π)＝f (4－π)．
∵0<4－π<1<，
当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，
∴f (4－π)>f (1)>f ()，
∴f ()
跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A．f (x)＝x＋sin 2x B．f (x)＝x2－cos x
C．f (x)＝3x－ D．f (x)＝x2＋tan x
答案 D
解析 对于选项A，函数的定义域为R，f (－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f (x)，所以f (x)＝x＋sin 2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f (－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f (x)，所以f (x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f (－x)＝3－x
－＝－＝－f (x)，所以f (x)＝3x－为奇函数；只有f (x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选D.
(2)设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数
答案 D
解析 f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．
g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；
f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)，
所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；
f (－x)|g(－x)|＝f (x)|g(x)|，
所以f (x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f (x)＋g(x)＝2ex，
f (－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f (x)＋g(x)]，
所以f (x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选D.
(3)设函数f (x)在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g(x)＝f (x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为________．
答案 (0,2)
解析 由已知g(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(2)＝0，
又g(x)为偶函数，
∴g(2－2x)<0可化为g(2－2x)
1．设f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f (x)＝则f ＝______.
答案 1
解析 f ＝f ＝－4×2＋2＝1.
2．已知定义在R上的函数f (x)满足f (2)＝2－，且对任意的x都有f (x＋2)＝，则
f (2 020)＝______.
答案 －2－
解析 由f (x＋2)＝，得f (x＋4)＝＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，
所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝，所以f (4)＝－＝－＝－2－.
故f (2 020)＝－2－.
3．(2019·石家庄模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x)＝f (2－x)，当x∈[0,1]时，f (x)＝4x－1，则f ＝______.
答案 －1
解析 因为f (x)＝f (2－x)，所以f ＝f ，
又f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f ＝f ＝－f .
因为当x∈[0,1]时，f (x)＝4x－1，
所以f ＝－1＝1，则f ＝－1.
4．设定义在R上的函数f (x)同时满足以下条件：①f (x)＋f (－x)＝0；②f (x)＝f (x＋2)；③当0≤x<1时，f (x)＝2x－1，则f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f ＝________.
答案 －1
解析 依题意知：函数f (x)为奇函数且周期为2，
则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.
∴f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f
＝f ＋0＋f ＋f (0)＋f
＝f －f ＋f (0)＋f
＝f ＋f (0)＝－1＋20－1＝－1.
思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
函数性质的综合应用
命题点1 函数的奇偶性与单调性相结合
例4 (2017·全国Ⅰ改编)函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 因为函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，
由－1≤f (x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.
命题点2 函数的奇偶性与周期性相结合
例5 设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x)＝则f (2 019)＝________.
答案
解析 设0
例6 已知定义在R上的函数f (x)，对任意实数x有f (x＋4)＝－f (x)，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 018)＝________.
答案 2
解析 由函数y＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f (x)的图象关于y轴对称，故f (x)为偶函数．
由f (x＋4)＝－f (x)，得f (x＋4＋4)＝－f (x＋4)＝f (x)，所以f (x)是周期T＝8的偶函数，所以f (2 018)＝f (2＋252×8)＝f (2)＝2.
命题点4 函数的周期性与对称性相结合
例7 已知f (x)的定义域为R，其函数图象关于x＝－1对称，且f (x＋4)＝f (x－2)．若当x∈
[－4，－1]时，f (x)＝6－x，则f (919)＝_______.
答案 216
解析 由f (x＋4)＝f (x－2)，得f (x＋6)＝f (x)．
故f (x)是周期为6的函数．
所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．
因为f (x)的图象关于x＝－1对称，所以f (1)＝f (－3)．
又x∈[－4，－1]时，f (x)＝6－x，
所以f (－3)＝6－(－3)＝216.
从而f (1)＝216，故f (919)＝216.
思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
跟踪训练2 (1)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f (2|a－1|)>f (－)，则a的取值范围是________．
答案
解析 ∵f (2|a－1|)>f (－)＝f ()，
又由已知可得f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴2|a－1|<＝，∴|a－1|<，∴
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 ∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴f (1－x)＝－f (x－1)．∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴－f (x－1)＝f (x＋1)，∴f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴函数f (x)是周期为4的周期函数．
由f (x)为奇函数且定义域为R得f (0)＝0，
又∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.
又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)
＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.
故选C.
(3)已知函数y＝f (x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f (x＋6)＝f (x)＋f (3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0.给出下列命题：
①f (3)＝0；
②直线x＝－6是函数y＝f (x)的图象的一条对称轴；
③函数y＝f (x)在[－9，－6]上为增函数；
④函数y＝f (x)在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为________．
答案 ①②④
解析 ∵f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)．
又f (x)是R上的偶函数，所以f (3)＝0，故①正确；
由①知f (x＋6)＝f (x)，所以f (x)的周期为6.
又因为f (x)是R上的偶函数，
所以f (x＋6)＝f (－x)，
而f (x)的周期为6，所以f (x＋6)＝f (－6＋x)，
f (－x)＝f (－x－6)，
所以f (－6－x)＝f (－6＋x)，所以直线x＝－6是函数y＝f (x)的图象的一条对称轴．故②正确；
当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0，所以函数y＝f (x)在[0,3]上为增函数．因为f (x)是R上的偶函数，所以函数y＝f (x)在[－3,0]上为减函数，而f (x)的周期为6，所以函数y＝f (x)在[－9，－6]上为减函数．故③错误；
f (3)＝0，f (x)的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y＝f (x)在[－9,9]上有四个零点．故④正确．
1．(2019·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
答案 B
解析 y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．
2．已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f (|x|)；②y＝f (－x)；③y＝xf (x)；④y＝f (x)＋x.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
答案 D
解析 由奇函数的定义f (－x)＝－f (x)验证，
①f (|－x|)＝f (|x|)，为偶函数；
②f [－(－x)]＝f (x)＝－f (－x)，为奇函数；
③－xf (－x)＝－x·[－f (x)]＝xf (x)，为偶函数；
④f (－x)＋(－x)＝－[f (x)＋x]，为奇函数．
可知②④正确，故选D.
3．已知函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
答案 A
解析 ∵函数f (x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，
∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，
∴f (1)＝0，
f ＝f ＝－f ＝－ ＝－2，
∴f ＋f (1)＝－2.
4．已知f (x)为奇函数，当x>0时，f (x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f (x)等于( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
答案 B
解析 当x<0时，则－x>0，∴f (－x)＝(－x)(1－x)，又f (－x)＝－f (x)，∴f (x)＝x(1－x)．
5．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f (x)＝
log2(－3x＋1)，则f (2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．log27
答案 C
解析 ∵函数f (x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，
∴f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．
∵－1∈，且当x∈时，
f (x)＝log2(－3x＋1)，
∴f (－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，
∴f (2 021)＝－f (－1)＝－2.
6．已知偶函数f (x)对于任意x∈R都有f (x＋1)＝－f (x)，且f (x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )
A．f (0)
解析 由f (x＋1)＝－f (x)，得f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)，∴函数f (x)的周期是2.
∵函数f (x)为偶函数，
∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)．
∵f (x)在区间[0,1]上是单调递增的，
∴f (0)
答案 －
解析 函数f (x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f (－x)＝f (x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln(1＋e3x)－ln e3x－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，即－3x－ax＝ax，所以2ax＋3x＝0恒成立，
所以a＝－.
8．已知y＝f (x)＋x2是奇函数，且f (1)＝1，若g(x)＝f (x)＋2，则g(－1)＝________.
答案 －1
解析 令H(x)＝f (x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0，
∴f (－1)＝－3，∴g(－1)＝f (－1)＋2＝－1.
9．(2019·广东六校联考)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x－1)，且f (x)＝其中a∈R，若f (－5)＝f (4.5)，则a＝________.
答案 2.5
解析 由f (x＋1)＝f (x－1)，
得f (x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f (x)，
所以f (x)是周期为2的周期函数．
又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，
即－1＋a＝1.5，解得a＝2.5.
10．设奇函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x[f (x)－f (－x)]<0的解集为________．
答案 {x|－1
∴不等式x[f (x)－f (－x)]<0可化简为xf (x)<0，
又f (1)＝0，∴f (－1)＝0，
∵奇函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，
从而函数f (x)的大致图象如图所示，
则不等式x[f (x)－f (－x)]<0的解集为{x|－1
(1)求实数m的值；
(2)若函数f (x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f (－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，
于是x<0时，f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f (x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f (x)的图象(如图所示)知所以1
12．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x)．当x∈[0,2]时，f (x)＝2x－x2.
(1)求证：f (x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f (x)的解析式．
(1)证明 ∵f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)．
∴f (x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f (4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f (4－x)＝f (－x)＝－f (x)，
∴－f (x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f (x)＝x2－6x＋8.
13．若定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)>0，f (x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f (2 023)＝_____.
答案 1
解析 因为f (x)>0，f (x＋2)＝，
所以f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]
＝＝＝f (x)，
即函数f (x)的周期是4，
所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．
因为函数f (x)为偶函数，
所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．
当x＝－1时，f (－1＋2)＝，得f (1)＝.
由f (x)>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.
14．(2019·湖北鄂州三校联考)若函数f (x－2)为奇函数，f (－2)＝0，且f (x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f (3－x)>0的解集为________．
答案 (5，＋∞)
解析 因为函数f (x－2)为奇函数，所以f (x－2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f (x)的图象可由f (x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f (x)的图象关于点(－2,0)对称．
因为f (x)在[－2，＋∞ )上单调递减，所以f (x)在(－∞ ，－2]上也单调递减．
因为f (3－x)>0＝f (－2)，所以3－x<－2，
解得x>5.
15．(2019·河北保定两校联考)对于函数y＝f (x)，若存在x0，使f (x0)＋f (－x0)＝0，则称点(x0，f (x0))是曲线f (x)的“优美点”．已知f (x)＝若曲线f (x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为________．
答案 (－∞，2－2]
解析 由“优美点”的定义，可知若点(x0，f (x0))是曲线y＝f (x)的“优美点”，则点(－x0，－f (x0))也在曲线y＝f (x)上．如图所示作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y＝－x2＋2x(x>0)．
设过定点(0,2)的直线y＝k1x＋2与曲线y＝f (x)＝－x2＋2x(x>0)切于点A(x1，f (x1))，
则k1＝－2x1＋2＝，
解得x1＝或x1＝－(舍去)，
所以k1＝－2＋2.
由图可知，若曲线y＝f (x)存在“优美点”，则k≤2－2.
16．若f (x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且当x∈[0,1)时f (x)为增函数，求不等式f (x)＋f <0的解集．
解 ∵f (x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，
∴f (x)在(－1,0)上也是增函数．
∴f (x)在(－1,1)上为增函数．
f (x)＋f <0⇔f (x)<－f ＝f ⇔⇔－
最新考纲
考情考向分析
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等难度.
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．
2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．
(2)f (x＋a)＝(a≠0)．
(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．
提示 (1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.
3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( × )
(2)如果函数f (x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f (x)＋g(x)是偶函数．( √ )
(3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．( √ )
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ )
题组二 教材改编
2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号)
①f (x)＝2x4＋3x2；
②f (x)＝x3－2x；
③f (x)＝；
④f (x)＝x3＋1.
答案 ②③
3．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x(1＋x)，则f (－1)＝________.
答案 －2
解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x)为奇函数，
∴f (－1)＝－f (1)＝－2.
4.设奇函数f (x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当0
综上，f (x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题组三 易错自纠
5．函数f (x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)
答案 奇
解析 由得－1
∴f (x)＝，∴f (－x)＝＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数．
6．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)，且当x∈时，f (x)＝－x3，则f ＝________.
答案
解析 由f (x＋3)＝f (x)知函数f (x)的周期为3，
又函数f (x)为奇函数，
所以f ＝f ＝－f ＝3＝.
函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]；
(2)f (x)＝ln ；
(3)f (x)＝＋(a>0，且a≠1)；
(4)f (x)＝
解 (1)由于f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f (x)的定义域为(－2,2)，
f (－x)＝ln ＝－ln ＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
(3)∵f (x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
f (－x)＝＋＝＋
＝＋＝－＋
＝－1＋＋
＝－＝－f (x)．
即f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．
(4)显然函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)；
当x>0时，－x<0，
则f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f (－x)＝－f (x)，
∴函数f (x)为奇函数．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2 (1)(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x)＝ln(－x)＋1，f (a)＝4，则f (－a)＝________.
答案 －2
解析 ∵f (x)＋f (－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f (a)＋f (－a)＝2，∴f (－a)＝－2.
(2)若函数f (x)＝在区间[－4,4]上的最大值、最小值分别为p，q，则p＋q的值为________．
答案 6
解析 f (x)＝3－，x∈[－4,4]，
令h(x)＝－，则h(x)为奇函数，
∴h(x)max＋h(x)min＝0，
∴f (x)max＋f (x)min＝6，即p＋q＝6.
命题点3 函数的对称性
例3 已知函数f (x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，且函数y＝f (x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f (π)
解析 ∵y＝f (x＋2)为偶函数，
∴f (－x＋2)＝f (x＋2)，
∴f (3)＝f (1)，f (π)＝f (4－π)．
∵0<4－π<1<，
当x∈[－2,2]时，f (x)单调递减，
∴f (4－π)>f (1)>f ()，
∴f ()
跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A．f (x)＝x＋sin 2x B．f (x)＝x2－cos x
C．f (x)＝3x－ D．f (x)＝x2＋tan x
答案 D
解析 对于选项A，函数的定义域为R，f (－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f (x)，所以f (x)＝x＋sin 2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f (－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f (x)，所以f (x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f (－x)＝3－x
－＝－＝－f (x)，所以f (x)＝3x－为奇函数；只有f (x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选D.
(2)设f (x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f (x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数 B．f (x)g(x)是奇函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．f (x)＋g(x)是奇函数
答案 D
解析 f (－x)＝e－x＋ex＝f (x)，f (x)为偶函数．
g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；
f (－x)g(－x)＝f (x)[－g(x)]＝－f (x)g(x)，
所以f (x)g(x)为奇函数，B正确；
f (－x)|g(－x)|＝f (x)|g(x)|，
所以f (x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f (x)＋g(x)＝2ex，
f (－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f (x)＋g(x)]，
所以f (x)＋g(x)不是奇函数，D错误，故选D.
(3)设函数f (x)在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g(x)＝f (x＋1)为偶函数，则不等式g(2－2x)<0的解集为________．
答案 (0,2)
解析 由已知g(x)在[0，＋∞)上为增函数，g(2)＝0，
又g(x)为偶函数，
∴g(2－2x)<0可化为g(2－2x)
1．设f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f (x)＝则f ＝______.
答案 1
解析 f ＝f ＝－4×2＋2＝1.
2．已知定义在R上的函数f (x)满足f (2)＝2－，且对任意的x都有f (x＋2)＝，则
f (2 020)＝______.
答案 －2－
解析 由f (x＋2)＝，得f (x＋4)＝＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4，
所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝，所以f (4)＝－＝－＝－2－.
故f (2 020)＝－2－.
3．(2019·石家庄模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x)＝f (2－x)，当x∈[0,1]时，f (x)＝4x－1，则f ＝______.
答案 －1
解析 因为f (x)＝f (2－x)，所以f ＝f ，
又f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f ＝f ＝－f .
因为当x∈[0,1]时，f (x)＝4x－1，
所以f ＝－1＝1，则f ＝－1.
4．设定义在R上的函数f (x)同时满足以下条件：①f (x)＋f (－x)＝0；②f (x)＝f (x＋2)；③当0≤x<1时，f (x)＝2x－1，则f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f ＝________.
答案 －1
解析 依题意知：函数f (x)为奇函数且周期为2，
则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.
∴f ＋f (1)＋f ＋f (2)＋f
＝f ＋0＋f ＋f (0)＋f
＝f －f ＋f (0)＋f
＝f ＋f (0)＝－1＋20－1＝－1.
思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
函数性质的综合应用
命题点1 函数的奇偶性与单调性相结合
例4 (2017·全国Ⅰ改编)函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 因为函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，
由－1≤f (x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.
命题点2 函数的奇偶性与周期性相结合
例5 设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x)＝则f (2 019)＝________.
答案
解析 设0
例6 已知定义在R上的函数f (x)，对任意实数x有f (x＋4)＝－f (x)，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 018)＝________.
答案 2
解析 由函数y＝f (x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f (x)的图象关于y轴对称，故f (x)为偶函数．
由f (x＋4)＝－f (x)，得f (x＋4＋4)＝－f (x＋4)＝f (x)，所以f (x)是周期T＝8的偶函数，所以f (2 018)＝f (2＋252×8)＝f (2)＝2.
命题点4 函数的周期性与对称性相结合
例7 已知f (x)的定义域为R，其函数图象关于x＝－1对称，且f (x＋4)＝f (x－2)．若当x∈
[－4，－1]时，f (x)＝6－x，则f (919)＝_______.
答案 216
解析 由f (x＋4)＝f (x－2)，得f (x＋6)＝f (x)．
故f (x)是周期为6的函数．
所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．
因为f (x)的图象关于x＝－1对称，所以f (1)＝f (－3)．
又x∈[－4，－1]时，f (x)＝6－x，
所以f (－3)＝6－(－3)＝216.
从而f (1)＝216，故f (919)＝216.
思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
跟踪训练2 (1)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f (2|a－1|)>f (－)，则a的取值范围是________．
答案
解析 ∵f (2|a－1|)>f (－)＝f ()，
又由已知可得f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴2|a－1|<＝，∴|a－1|<，∴
A．－50 B．0 C．2 D．50
答案 C
解析 ∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴f (1－x)＝－f (x－1)．∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴－f (x－1)＝f (x＋1)，∴f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，
∴函数f (x)是周期为4的周期函数．
由f (x)为奇函数且定义域为R得f (0)＝0，
又∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.
又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)
＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.
故选C.
(3)已知函数y＝f (x)是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f (x＋6)＝f (x)＋f (3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0.给出下列命题：
①f (3)＝0；
②直线x＝－6是函数y＝f (x)的图象的一条对称轴；
③函数y＝f (x)在[－9，－6]上为增函数；
④函数y＝f (x)在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为________．
答案 ①②④
解析 ∵f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)．
又f (x)是R上的偶函数，所以f (3)＝0，故①正确；
由①知f (x＋6)＝f (x)，所以f (x)的周期为6.
又因为f (x)是R上的偶函数，
所以f (x＋6)＝f (－x)，
而f (x)的周期为6，所以f (x＋6)＝f (－6＋x)，
f (－x)＝f (－x－6)，
所以f (－6－x)＝f (－6＋x)，所以直线x＝－6是函数y＝f (x)的图象的一条对称轴．故②正确；
当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0，所以函数y＝f (x)在[0,3]上为增函数．因为f (x)是R上的偶函数，所以函数y＝f (x)在[－3,0]上为减函数，而f (x)的周期为6，所以函数y＝f (x)在[－9，－6]上为减函数．故③错误；
f (3)＝0，f (x)的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y＝f (x)在[－9,9]上有四个零点．故④正确．
1．(2019·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
答案 B
解析 y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．
2．已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f (|x|)；②y＝f (－x)；③y＝xf (x)；④y＝f (x)＋x.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
答案 D
解析 由奇函数的定义f (－x)＝－f (x)验证，
①f (|－x|)＝f (|x|)，为偶函数；
②f [－(－x)]＝f (x)＝－f (－x)，为奇函数；
③－xf (－x)＝－x·[－f (x)]＝xf (x)，为偶函数；
④f (－x)＋(－x)＝－[f (x)＋x]，为奇函数．
可知②④正确，故选D.
3．已知函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
答案 A
解析 ∵函数f (x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，
∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，
∴f (1)＝0，
f ＝f ＝－f ＝－ ＝－2，
∴f ＋f (1)＝－2.
4．已知f (x)为奇函数，当x>0时，f (x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f (x)等于( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
答案 B
解析 当x<0时，则－x>0，∴f (－x)＝(－x)(1－x)，又f (－x)＝－f (x)，∴f (x)＝x(1－x)．
5．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f (x)＝
log2(－3x＋1)，则f (2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．log27
答案 C
解析 ∵函数f (x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，
∴f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．
∵－1∈，且当x∈时，
f (x)＝log2(－3x＋1)，
∴f (－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，
∴f (2 021)＝－f (－1)＝－2.
6．已知偶函数f (x)对于任意x∈R都有f (x＋1)＝－f (x)，且f (x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )
A．f (0)
解析 由f (x＋1)＝－f (x)，得f (x＋2)＝－f (x＋1)＝f (x)，∴函数f (x)的周期是2.
∵函数f (x)为偶函数，
∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)．
∵f (x)在区间[0,1]上是单调递增的，
∴f (0)
答案 －
解析 函数f (x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f (－x)＝f (x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln(1＋e3x)－ln e3x－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，即－3x－ax＝ax，所以2ax＋3x＝0恒成立，
所以a＝－.
8．已知y＝f (x)＋x2是奇函数，且f (1)＝1，若g(x)＝f (x)＋2，则g(－1)＝________.
答案 －1
解析 令H(x)＝f (x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0，
∴f (－1)＝－3，∴g(－1)＝f (－1)＋2＝－1.
9．(2019·广东六校联考)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x－1)，且f (x)＝其中a∈R，若f (－5)＝f (4.5)，则a＝________.
答案 2.5
解析 由f (x＋1)＝f (x－1)，
得f (x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f (x)，
所以f (x)是周期为2的周期函数．
又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，
即－1＋a＝1.5，解得a＝2.5.
10．设奇函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x[f (x)－f (－x)]<0的解集为________．
答案 {x|－1
∴不等式x[f (x)－f (－x)]<0可化简为xf (x)<0，
又f (1)＝0，∴f (－1)＝0，
∵奇函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，
从而函数f (x)的大致图象如图所示，
则不等式x[f (x)－f (－x)]<0的解集为{x|－1
(1)求实数m的值；
(2)若函数f (x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f (－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，
于是x<0时，f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f (x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f (x)的图象(如图所示)知所以1
12．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x)．当x∈[0,2]时，f (x)＝2x－x2.
(1)求证：f (x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f (x)的解析式．
(1)证明 ∵f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)．
∴f (x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f (4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f (4－x)＝f (－x)＝－f (x)，
∴－f (x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f (x)＝x2－6x＋8.
13．若定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)>0，f (x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f (2 023)＝_____.
答案 1
解析 因为f (x)>0，f (x＋2)＝，
所以f (x＋4)＝f [(x＋2)＋2]
＝＝＝f (x)，
即函数f (x)的周期是4，
所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．
因为函数f (x)为偶函数，
所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．
当x＝－1时，f (－1＋2)＝，得f (1)＝.
由f (x)>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.
14．(2019·湖北鄂州三校联考)若函数f (x－2)为奇函数，f (－2)＝0，且f (x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f (3－x)>0的解集为________．
答案 (5，＋∞)
解析 因为函数f (x－2)为奇函数，所以f (x－2)图象的对称中心为点(0,0)．因为f (x)的图象可由f (x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f (x)的图象关于点(－2,0)对称．
因为f (x)在[－2，＋∞ )上单调递减，所以f (x)在(－∞ ，－2]上也单调递减．
因为f (3－x)>0＝f (－2)，所以3－x<－2，
解得x>5.
15．(2019·河北保定两校联考)对于函数y＝f (x)，若存在x0，使f (x0)＋f (－x0)＝0，则称点(x0，f (x0))是曲线f (x)的“优美点”．已知f (x)＝若曲线f (x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为________．
答案 (－∞，2－2]
解析 由“优美点”的定义，可知若点(x0，f (x0))是曲线y＝f (x)的“优美点”，则点(－x0，－f (x0))也在曲线y＝f (x)上．如图所示作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y＝－x2＋2x(x>0)．
设过定点(0,2)的直线y＝k1x＋2与曲线y＝f (x)＝－x2＋2x(x>0)切于点A(x1，f (x1))，
则k1＝－2x1＋2＝，
解得x1＝或x1＝－(舍去)，
所以k1＝－2＋2.
由图可知，若曲线y＝f (x)存在“优美点”，则k≤2－2.
16．若f (x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且当x∈[0,1)时f (x)为增函数，求不等式f (x)＋f <0的解集．
解 ∵f (x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，
∴f (x)在(－1,0)上也是增函数．
∴f (x)在(－1,1)上为增函数．
f (x)＋f <0⇔f (x)<－f ＝f ⇔⇔－
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