2021届高考数学（文）一轮复习学案：三角函数、解三角形第3节三角函数的图像与性质

第三节　三角函数的图像与性质

[最新考纲]　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质

1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．

2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

3．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝sin x的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称． (　　)

(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． (　　)

(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. (　　)

(4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数． (　　)

[答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)

A.

B.

C.

D.

D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

∴y＝tan 2x的定义域为.]

2．函数f(x)＝cos的最小正周期是________．

π　[T＝＝π.]

3．y＝sin的单调减区间是________．

(k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.]

4．y＝3sin在区间上的值域是________．

　[当x∈时，2x－∈，

sin∈，

故3sin∈，

即y＝3sin的值域为.]

⊙考点1　三角函数的定义域和值域

1．三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．

2．求三角函数最值或值域的常用方法

(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．

(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．

(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解．

　1.函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)

A．

B．

C．

D．

D　[由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，

即x≠＋(k∈Z)，故选D.]

2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．

－4　[f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，

令cos x＝t，则t∈[－1,1]．

f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2＋，

易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.

故f(x)的最小值为－4.]

3．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．

　[∵x∈，∴x＋∈，

∵当x＋∈时，f(x)的值域为，

∴由函数的图像(图略)知≤a＋≤，∴≤a≤π.]

4．函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．

　[设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．

当t＝1时，ymax＝1；

当t＝－时，ymin＝－－.

∴函数的值域为.]

　求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．

⊙考点2　三角函数的单调性

 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图像利用y＝sin x的单调性求解．

(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．

　求三角函数的单调性

 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

(2)(2019·大连模拟)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________．

(1)B　(2)　[(1)由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，

得－＜x＜＋(k∈Z)，

所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.

(2)∵y＝sin x＋cos x＝sin，

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，

又x∈，∴单调递增区间为.]

　本例(2) 在整体求得函数y＝sin x＋cos x的增区间后，采用对k赋值的方式求得x∈上的区间．

　根据函数的单调性求参数

 (1)(2019·西安模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A．(0,2]　　　　　　 B.

C. D.

(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a] 是减函数，则a的最大值是(　　)

A. B.

C. D．π

(1)D　(2)C　[(1)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z，

因为f(x)＝sin在上单调递减，

所以解得因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，

所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D.

(2)f(x)＝cos x－sin x＝－sin，

当x－∈，即x∈时，

sin单调递增，－sin 单调递减，

∴是f(x)在原点附近的单调递减区间，

结合条件得[0，a]⊆，

∴a≤，即amax＝，故选C.]

　已知单调区间求参数范围的三种方法

　1.若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.

　[由已知得＝，∴T＝，∴ω＝＝.]

2．函数f(x)＝sin的单调减区间为________．

(k∈Z)　[由已知，得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所求函数的单调减区间为(k∈Z)．]

⊙考点3　三角函数的周期性、奇偶性、对称性

　求解三角函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y＝sin x的对应性质，利用整体代换的思想求解．

　三角函数的周期性

 (1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)

A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|

C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|

(2)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．

(1)A　(2)2或3　[(1)对于选项A，作出y＝|cos 2x|的部分图像，如图1所示，则f(x)在上单调递增，且最小正周期T＝，故A正确．

对于选项B，作出f(x)＝|sin 2x|的部分图像，如图2所示，则f(x)在上单调递减，且最小正周期T＝，故B不正确．对于选项C，∵f(x)＝cos|x|＝cos x，

∴最小正周期T＝2π，故C不正确．

对于选项D，作出f(x)＝sin|x|的部分图像，如图3所示．显然f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.

图1

图2

]

图3

(2)由题意得，1＜＜2，

∴k＜π＜2k，即＜k＜π，

又k∈Z，∴k＝2或3.]

　公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴”

(1)公式法求周期

①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的周期T＝；

②函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝；

③函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝.

(2)对称性求周期

①两对称轴距离的最小值等于；

②两对称中心距离的最小值等于；

③对称中心到对称轴距离的最小值等于.

(3)特征点法求周期

①两个最大值点之差的最小值等于T；

②两个最小值点之差的最小值等于T；

③最大值点与最小值点之差的最小值等于.

特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应．(说明：此处的T均为最小正周期)

　三角函数的奇偶性

　已知函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)．

(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；

(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________.

(1)π　(2)　[(1)因为f(x)＝3sin为偶函数，

所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，

又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.

(2)因为f(x)＝3sin为奇函数，

所以－＋φ＝kπ，k∈Z，

又φ∈(0，π)，

所以φ＝.]

　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

　三角函数的对称性

 (1)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像(　　)

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称

(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则φ的值为________．

(1)B　(2)－　[(1)因为函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，

即f(x)＝2sin.

令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，

故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，

令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．

故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．

(2)由题意得f＝sin＝±1，

∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．

∵φ∈，∴φ＝－.]

　三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法

若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图像的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图像的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.

　1.设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在上单调递减

D　[A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；

B项，因为f(x)＝cos图像的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，B项正确；

C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，

所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；

D项，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，

单调递增区间为(k∈Z)，

所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误．]

2．(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且任意x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图像的一个对称中心坐标是(　　)

A. B.

C. D.

A　[由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.

因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，

即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin.

令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，

故f(x)图像的对称中心为(k∈Z)，

当k＝0时，f(x)图像的对称中心为.]