2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第25课__三角函数的恒等变形与求值（1）

____第25课__三角函数的恒等变形与求值(1)____

 1. 理解同角三角函数的基本关系式．

 2. 能正确运用这些公式进行化简、求值与证明.

1.  阅读：阅读必修4第16～18页．

2.  解悟：①同角三角函数的基本关系式及其公式的正用、逆用、变形使用；②掌握sinα±cosα，sinαcosα之间的关系，可以知一求二；③求值与化简时，常用弦切互化、和积转换、变角技巧、“1”的代换．

3.  践习：在教材空白处，完成必修4第18页练习第3、4、6题.

　基础诊断　

1. 若sinα＝－，π<α<，则tanα＝____．

解析：因为sinα＝－，π<α<，所以cosα＝－＝－，所以tanα＝＝.

2. 化简：(1－cosα)＝__sinα__．

解析：原式＝(1－cosα)＝＝＝sinα.

3. 已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是__－1__．

解析：因为sinα＋2cosα＝0，所以tanα＝－2.原式＝＝＝＝－1.

4. 若cos(－80°)＝k，则tan100°＝__－__．

解析：因为sin80°＝＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－＝－.

　范例导航　

考向❶  运用同角三角函数的基本关系，进行化简、证明

例1　(1) 化简：tanα(cosα－sinα)＋；　

(2) 求证：＝.

解析：(1) 原式＝(cosα－sinα)＋＝sinα－＋＝sinα.

【注】 切化弦是常用的消除名称差异的方法．

(2) 方法一：右边＝＝＝＝＝左边．

方法二：左边＝＝，右边＝＝，则左边＝右边．

方法三：左边＝＝＝＝＝右边．

【注】 (1) 题中有弦有切，应进行弦切互化，应确立化简的目标意识——同名、同角. (2) 证明恒等式时要和学生讨论，引导学生利用掌握公式的特点，学会分析等号左右两边的结构，选择适当的推理途径进行证明.

(1) 已知α∈，化简：tanα；

(2) 证明：＝.

解析：(1) 因为α∈，

所以原式＝tanα＝tanα

＝tanα·＝－1.

(2) 左边＝＝＝＝＝＝＝＝右边，得证．

考向❷  形如sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式问题

例2　(1) 若tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋4cos2α的值；

(2) 已知＝－5，求tanα的值．

解析：(1) 方法一：由3＝tanα＝，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝±，cosα＝±，

代入求值，原式＝－＋＝.

方法二：sin2α－3sinαcosα＋4cos2α

＝

＝

＝＝.

(2) 方法一：由＝－5，

得16sinα＝－23cosα，从而tanα＝－.

方法二：将＝－5左边的分子分母同时除以cosα，得＝－5，解出tanα＝－.

若tanα＝3，求的值．

解析：原式＝＝＝－.

【注】 解决形如sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，通常会涉及弦、切互化，整体代入以及“1”的代换的方法.

考向❸  sinα＋cosα，sinα·cosα，sinα－cosα的关系

　例3　(1) 已知sinα＋cosα＝，求sinα·cosα及sin4α＋cos4α的值；

(2) 已知sinα＋cosα＝(0<α<π)，求tanα的值．

解析：(1) 由sinα＋cosα＝，得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝2，所以sinαcosα＝(2－1)×＝，由(sin2α＋cos2α)2＝sin4α＋cos4α＋2(sinα·cosα)2＝1，得sin4α＋cos4α＝.

(2) 由sinα＋cosα＝得sinαcosα＝－.又0<α<π，则<α<π，有sinα>0，cosα<0，且|sinα|>|cosα|.

方法一：sinαcosα＝＝＝－，解得tanα＝－或－(舍去)．

方法二：(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，得sinα－cosα＝.又sinα＋cosα＝，联立解得sinα＝，cosα＝－，所以tanα＝－.

已知sinα＋cosα＝，求sinα－cosα和tanα的值．

解析：将sinα＋cosα＝两边平方，得1＋2sinαcosα＝2，则sinαcosα＝.

因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝0，

所以sinα－cosα＝0，tanα＝1.

【备用题】 已知sinαcosα＝，α∈，求sinα＋cosα，sinα－cosα的值．

解析：因为α∈，所以sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，

所以sinα＋cosα＝＝，

sinα－cosα＝＝.

【注】 对于sinα＋cosα，sinα·cosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值可求其余两个式子的值. 对于sin4α＋cos4α的变形处理，要引导学生联想1＝(sin2α＋cos2α)2与sin4α＋cos4α的关系．

　自测反馈　

1.  若α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα＝____．

解析：因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝－tanα＋3＝0，所以tanα＝＝3.由sin2α＋cos2α＝1得sinα＝.

2. 已知α为第四象限角，化简：＋＝__－__．

解析：因为α为第四象限角，所以sinα<0，原式＝＋＝＋＝－.

3. 已知sin(3π－α)＝－2sin，则sinα·cosα＝__－__．

解析：因为sin(3π－α)＝－2sin，所以sinα＝－2cosα，sin2α＋cos2α＝5cos2α＝1，解得cosα＝±，

所以sinα·cosα＝·＝－或sinα·cosα＝·＝－.

综上，sinα·cosα＝－.

4. 计算：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝____．

解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋…＋cos22°＋cos21°＋sin290°＝44＋sin245°＋1＝44＋＋1＝.

1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，解题目标是同名同角，要明确化简的目的及所用公式允许的取值范围，要注意体会弦切互相转化、“1”的代换的思想方法，对公式要学会逆向应用、变式应用．

2. 掌握sinα＋cosα，sinα·cosα，sinα－cosα的关系，可以知一求二，如果涉及开方运算，应注意角的取值范围，特别是sinα·cosα的正负．

3. 你还有那些体悟，写下来：